Как решать уравнения? тождественные преобразования. примеры

Пример № 2

Пример уравнения для 4 класса со знаком минус.

Первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? В данном примере мы можем разделить. Производим деление 240 разделить на 3 получаем 80. Переписываем уравнение ещё раз.

Х – 180 = 80 (выделила цифры зеленым маркером).

Теперь мы видим, что у нас есть х (неизвестное) и числа, только не рядом, а разделяет их знак равно. Х в одну сторону, цифры в другую.

Х = 80 + 180 Знак плюс ставим потому что при переносе числа, знак что был перед цифрой меняется на противоположный. Считаем.

Х = 260 Выполняем проверочную работу. Проверка покажет правильно ли мы решили уравнение. Вместо х вставляем число, которое получили.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов: .

Решение

Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен: . Результат записываем в столбик.

2.2 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен: . Результат записываем в столбик, выравнивая степени .

2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен: . Результат записываем в столбик, выравнивая степени .

3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями ; ; ; .

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Ответ

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком: .

Решение

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной друг под другом. Если некоторые степени пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль: . Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен: . Результат записываем в столбик.

2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен: . Результат записываем в столбик, выравнивая степени .

3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями .

Ответ

Что важнее – умножение или сложение?

При решении примеров Расставь порядок действий. Умножить или разделить – на первом месте.

Для выражений, в которых присутствуют не сложение либо вычитание, а умножение или деление, действует то же правило: все действия с числами выполняются по порядку, начиная с левого:

81 : 9 х 2 = ?

81 : 9 = 9;
9 х 2 = 18.

Сложнее случай – когда в одной задаче встречаются умножение или деление со сложением или вычитанием. Каков порядок вычислений тогда?

Рассмотрим пример:

8 : 2 + 2 = ?

Если выполнять все действия по порядку, сначала деление, затем сложение. В итоге получим:

8 : 2 = 4;
4 + 2 = 6.

Правило третье: Если в задаче необходимо произвести умножение или деление, они выполняются в первую очередь.

Значит, пример решен правильно. А если в нем будут скобки?

8 : (2 + 2) = ?

2 + 2 = 4;
8 : 4 = 2.

То, что заключено в скобки, всегда в приоритете. Для того они и стоят в выражении. Поэтому порядок вычислений в подобных выражениях будет следующим:

Раскрываем скобки. Если их несколько, делаем вычисления для каждых.
Умножение либо деление.
Вычисляем конечный результат, выполняя действия слева направо.

Пример:
81 : 9 + (6 – 2) + 3 = ?

6 – 2 = 4;
81 : 9 = 9;
9 + 4 = 13;
13 + 3 = 16.

81 : 9 + (6 – 2) + 3 = 16.

А что будет приоритетным: умножение — или деление, вычитание — или сложение, если оба действия встречаются в задаче? Ничего, они равны, в таком случае действует первое правило – действия производятся одно за другим, начиная слева.

Алгоритм решения выражения:

Анализируем задачу – есть ли скобки, какие математические действия нужно будет выполнить.
Выполняем вычисления в скобках.
Делаем умножение и деление.
Выполняем сложение и вычитание.

Пример:

28 : (11 – 4) + 18 – (25 – = ?

Порядок вычисления:

11 – 4 = 7;
25 – 8 = 17;
28 : 7 = 4;
4 + 18 = 22;
22 – 17 = 5.

Ответ: 28 : (11 – 4) + 18 – (25 – = 5.

Важно! Если в выражении есть буквенные обозначения, порядок действий остается прежним

Уравнения с умножением и делением

После освоения уравнений на сложение и вычитание можно будет переходить к следующему уровню сложности. Это уравнения с умножением и делением.

Компоненты уравнения с умножением:

Два множителя.
Произведение.

Например, 3*x=6. Здесь 3 и x — множители, а 6 — произведение. Так, умножая одно число на другое, в результате получается произведение. То есть, если одно из этих чисел неизвестно, необходимо разделить произведение на известный множитель. В этом случае действует такое же правило, как и при сложении. При перестановке мест множителей произведение не меняется.

Компоненты уравнения с делением:

Делимое.
Делитель.
Частное.

Возьмём простейший пример 8: x=4. Здесь делимое 8, делитель x, а частное — 4. Для поиска неизвестного делителя необходимо разделить делимое на частное. Для упрощения понимания можно представить это уравнение в виде элементарной задачи. В классе 8 учеников, которые разделились на группы по 4 человека. Вопрос: сколько получилось групп?

Есть ещё один вариант — с поиском делимого. Например, уравнение x:2=5. Для поиска делимого необходимо частное умножить на делитель. Пример задачи: 2 мальчика заработали по 5 долларов каждый, какова общая сумма их заработка?

Между делением и умножением похожая взаимосвязь, как между сложением и вычитанием. То есть для того, чтобы лучше решать уравнения с умножением, необходимо также решать их с делением и наоборот. Этот подход в тренировке навыка решения уравнений ускоряет мыслительный процесс.

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5. Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2, имеем 5+2=7. Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:x−2=5,x=5+2,x=7.

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5. Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4, имеем 9−4=5. Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:9−x=4,x=9−4,x=5.

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9−5=4. Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.

Матвокс ⋆ решение дробных уравнений. пример 8 ⋆ энциклопедия математики

Для решения этого уравнения не будем применять основное свойство пропорций.

Перенесем все в левую часть уравнения:

На этом шаге нужно приводить все слагаемые к общему знаменателю.
Если внимательно посмотреть на знаменатели дробей, то можно увидеть, что один из них – это квадратный трехчлен.
В таких ситуациях нужно всегда пытаться разложить его на множители, так как это может позволить упростить поиск общего знаменателя.
Таким образом, разложим на множители:

Для этого приравняем к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

Корнями квадратного уравнения будут:

И:

Разложим уравнение на множители:

Уравнение примет вид:

Очевидно, данное разложение на множители сильно упростило дальнейшие вычисления.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и запишем в виде одной дроби:

Отсюда:

Упростим:
Отсюда:

В числителе записано выражение, а не число, значит переходим к шагу 7.

Приравняем числитель к нулю и решим полученное уравнение:
Так как можно все элементы уравнения делить на любое число, отличное от нуля, то разделим их на -2:
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
Корнями квадратного уравнения будут:
и
Полученные корни не сложные для дальнейших вычислений, и, если посмотреть на знаменатель, то и он не сложный для нахождения ОДЗ.
Поэтому в данном случае можно выбрать любой из вариантов алгоритма.

Найдем ОДЗ изначального уравнения. Поэтому переходим к шагу 9 алгоритма.

Найдем значения, при которых знаменатель изначального уравнения не равен нулю:
Произведение не равно нулю, когда каждый из множителей не равен нулю:
Отсюда:

На этом шаге выберем корни уравнения, полученные на шаге 7, попадающие в ОДЗ.
Итак:
и
При этом:
и
Таким образом, корень, равный -2 не попадает в ОДЗ, и значит его нужно исключить из ответа.

Можно провести проверку корня.

Ответ:
Корень дробного уравнения равен 1:

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

x+2-2=7-2
x+0=7-2
x=7-2

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

x=5

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

x-4+4=12+4
x=12+4

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

x=16

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x=2x-5
4+3x-2x=-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -44+3x-2x=-5
3x-2x=-5-4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅(-9)=2⋅(-9)-5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Деление и умножение дробей 7 класс

Разберем сразу примеры, так как правила уже обговорены выше.

В примере выше требуется разделить алгебраические дроби, содержащие выражения со степенью

Здесь важно вспомнить, что при сокращении степеней мы вычитаем из большей степени меньшую

Первую дробь мы оставили без изменений, вторую перевернули, заменив действие на умножение. Теперь ищем, что можно сократить. Сначала смотри на числовые коэффициенты. Сокращаем 7 и 35, 9 и 18. Затем сокращаем буквенную часть.

Для удобства возьмите каждый многочлен в скобки. Мы видим, что сразу можно сократить скобку (7-х). Многие допускают ошибку, считая что (a-b) и (a+b) сократимы, это большая ошибка. Ведь к примеру, 5-2 и 5+2 совершенно разные выражения.

Нахождение искомой составляющей в равенствах с вычитанием

На стройку привезли песок. 8 тонн песка использовали. Осталось 23 тонны. Сколько тонн песка привезли на стройку?

Чтобы узнать, сколько песка привезли на стройку нужно составить уравнение.

Сколько песка привезли, мы не знаем, поэтому принимаем за х. Количество использованного и оставшегося песка известно. Если от привезенного количества отнять использованное, то получим оставшееся количество песка:

х-8=23.

Помощником в вычислении таких равенств, станет правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность.

Используя описанный способ вычислим:

х-8=23;

х=23+8;

х=31;

31-8=23;

23=23.

На стройку привезли 31 тонну песка.

Рассмотрим следующий пример.

Перед поездкой водитель влил в бак 60 литров бензина. После прохождения всего пути осталось 6 литров. Сколько бензина израсходовал водитель?

Нам известно количество влитого бензина (60), количество израсходованного неизвестно (х), известен остаток 6 литров. Если из влитого бензина, вычесть израсходованный, то получим оставшийся. Составим уравнение:

60-х=6.

Для решения уравнений с неизвестным вычитаемым, используют правило:

Определить числовое значение искомого вычитаемого, можно отняв от уменьшаемого разность.

Применив правило, получаем:

60-х=6;

х=60-6;

х=54;

60-54=6;

6=6.

Водитель использовал 54 литра бензина.

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!» Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х? Ответ неверный! Справа у нас -3х! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ:

х=2

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

lg2 = lg8 — lgx

Это логарифмическое уравнение. Ну и что? Первым шагом всё равно будет базовое тождественное преобразование. «С иксами — влево»…) Надо выражение с иксом (-lgx) перенести из правой части в левую. Со сменой знака:

lg2 + lgx = lg8

А выражение без икса (lg2) переносим вправо. Со сменой знака:

lgx = lg8 — lg2

Справа получилась готовая формула. Кто понимает логарифмы, тот уже запросто дорешает пример. В уме. Без переноса влево-вправо это было бы затруднительно…)

Эти два примера показывают универсальность первого тождественного преобразования. Нигде его не обойти. Стало быть, надо уметь легко и непринуждённо его делать.) Собственно, ошибиться здесь можно только в одном. Забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательнее надо быть, да…)

Приступим ко второму тождественному преобразованию. С умножением-делением. Оно так же универсально и популярно, как и первое. Но простора для ошибок в нём побольше. Разберёмся, что к чему?)

Пример для младшеньких.)

Пусть нам надо решить вот такое суровое уравнение:

3х=12

Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Что нам мешает? Да тройка мешает! Нам в ответе всегда чистый икс нужен! Икс равен чему-то. А тройка мешает! Как можно от неё избавиться? Перенести вправо? Э-э-э нет! Тройка с иксом умножением связана. Нельзя её оторвать и вправо перенести. Вот всё выражение 3х можно переносить (только зачем?), а тройку отдельно — нельзя.

Самое время про умножение-деление вспомнить! Чтобы слева остался чистый икс, надо левую часть разделить на три. Это НАМ надо. Получим икс, чего и требовалось. Правую часть тоже придётся разделить на три. Это МАТЕМАТИКА требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 12 на 3 замечательно делится. Получится четыре. Ответ:

х = 4

Пример для старшеньких.)

Здесь без логарифмов обойдёмся. Решаем:

Вполне солидно, правда?) Кое-кто и запутается…. Понятно, что надо делить обе части на дробь 1/5. Именно она нам мешает. Это не очень в уме удобно… Можно поступить гораздо проще. Не делить обе части на 1/5, а умножить на 5. Слева всё равно чистый икс получится, а умножать на 5 — не самая трудная работа.)

Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!

Вот и всё.

Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука не самая сложная. Перенос, да умножение-деление. Однако, не у всех они получаются… Почему? Есть две главные причины.

Причина первая (для начинающих):

Иногда человек думает, что упрощение примеров делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может понять это правило. В одном примере начинают с переноса… В другом с домножения… В третьем три раза домножают и ни разу не переносят… Тоскует человек от неопределённости.)

А правила никакого нет.

Есть разрешённые математикой преобразования (целых два!), которые мы применяем по своему усмотрению. В удобном нам порядке. Порядок зависит исключительно от исходного примера и личных привычек решающего.

Причина вторая (почти для всех…):

Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки… Заключать выражения в скобки и раскрывать их… Складывать и вычитать дроби… Умножать и делить дроби… Короче, в наличии весь набор элементарных вычислений. Дальше понятно…

Обе эти причины замечательно устраняются практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче.)

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Женя с Колей решили покушать яблок, для чего начали их сшибать с яблони. Женя добыл 3 яблока, а в конце процесса у мальчиков оказалось 8 яблок. Сколько яблок сшиб Коля?

Для перевода этой типично задачи на математический язык, обозначим неизвестное число яблок, которые сшиб Коля, через x. Тогда по условию 3 Жениных яблока и x Колиных вместе составляют 8 яблок. Последней фразе соответствует уравнение вида 3+x=8. В левой части этого уравнения находится сумма, содержащая неизвестное слагаемое, в правой части стоит значение этой суммы — число 8. Так как же найти интересующее нас неизвестное слагаемое x?

Для этого существует следующее правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Это правило объясняется тем, что вычитанию придается смысл, обратный смыслу сложения. Иными словами, между сложением и вычитанием чисел существует связь, которая выражается в следующем: из того, что a+b=c следует, что c−a=b и c−b=a, и наоборот, из c−a=b, как и из c−b=a следует, что a+b=c.

Озвученное правило позволяет по одному известному слагаемому и известной сумме определить другое неизвестное слагаемое. При этом не имеет значения, какое из слагаемых неизвестно, первое или второе. Рассмотрим его применение на примере.

Вернемся к нашему уравнению 3+x=8. Согласно правилу, нам надо из известной суммы 8 вычесть известное слагаемое 3. То есть, выполняем вычитание натуральных чисел: 8−3=5, так мы нашли нужное нам неизвестное слагаемое, оно равно 5.

Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:

сначала записывают исходное уравнение,
ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,
наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.

Смысл такой формы записи заключается в том, что исходное уравнение последовательно заменяется равносильными уравнениями, из которых в итоге становится очевиден корень исходного уравнения. Подробно об этом говорят на уроках алгебры в 7 классе, а пока оформим решение нашего уравнения уровня 3 класса:3+x=8,x=8−3,x=5.

Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, желательно сделать проверку. Для этого полученный корень уравнения надо подставить в исходное уравнение и посмотреть, дает ли это верное числовое равенство.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5, получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

Умножение дробей

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби (полученное произведение будет числителем результата) и отдельно умножить знаменатель первой дроби на знаменатель второй (полученное произведение будет знаменателем результата).

Правило умножения алгебраических дробей в виде формулы:

a	·	c	=	ac	,
b	d	bd

где b≠0 и d≠0.

Пример. Выполнить умножение алгебраических дробей:

2a2	·	a + b	.
a2 — b2	a

Решение: Перед тем, как приступать к умножению дробей, желательно разложить их числители и знаменатели на множители — это поможет сократить алгебраическую дробь, которая получится в результате:

2a2	·	a + b	=	2a2	·	a + b	=
a2 — b2	a	(a + b)(a — b)	a

=	2a2(a + b)	.
(a + b)(a — b)a

Теперь сокращаем полученную дробь:

2a2(a + b)	=	2a	.
(a + b)(a — b)a	a — b

Чтобы умножить многочлен на алгебраическую дробь или алгебраическую дробь на многочлен, надо умножить многочлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Пример. Выполнить умножение многочлена на алгебраическую дробь:

(2x + 6) ·	x — 2	.
x + 3

Решение:

(2x + 6) ·	x — 2	=	(2x + 6)(x — 2)	.
x + 3	x + 3

Разложим числитель на множители и сократим дробь:

(2x + 6)(x — 2)	=	2(x + 3)(x — 2)	=
x + 3	x + 3

= 2(x — 2) = 2x — 4.

Правило умножения алгебраической дроби на многочлен (или умножение многочлена на алгебраическую дробь) в виде формулы:

a ·	b	=	ab	или	b	· a	=	ab	,
c	c	c	c

где c≠0.

Kumon спешит на помощь

У нас есть множество тетрадей разных уровней сложности, которые помогут выучить таблицу умножения на зубок.

KUMON. Математика. Умножение. Уровень 4

Эта яркая тетрадка научит ребенка умножать многозначные числа в столбик. Шаг за шагом он будет осваивать этот навык, его ждут примеры, которые будут постепенно усложняться, полезные подсказки и, конечно, ключи с ответами в конце тетради для самоконтроля.

Kumon. Математика. Деление. Уровень 4

Выполняя задания в этой тетради, ваш ребёнок научится делить многозначные числа в столбик с остатком и без него. Продвигаясь вперёд небольшими последовательными шажками, он обретёт не только математические знания, но и уверенность в своих силах.

Межпланетный рыцарский турнир

Решая примеры из этой книги, ребенок примет участие в настоящем межпланетном состязании! Каждый правильный ответ — ты успешно атаковал противника, каждая ошибка — противник успешно атаковал тебя. Для убедительности в книге есть изображения персонажей, за которых нужно сыграть юному математику, и их соперников, а также фантастические истории про инопланетян. Всех героев можно раскрасить!