Сложение и вычитание алгебраических дробей

Деление дробей

Деление. А что деление? Деление это действие обратное умножению. Сейчас поясню, существует такое понятие, как «обратная дробь», или дробь обратная данной, иными словами, это попросту перевернутая дробь! 

Смотри: \( \displaystyle  \frac{1}{7}:\frac{3}{5}=\frac{1}{7}\cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{21}\)

Как ты видишь, дробь \( \displaystyle  3/5\) просто переворачивается, а знак деления меняется на умножение!

А деление дроби на число или наоборот особо не отличается от деления на дробь, ведь любое число можно представить виде дроби – как, спросишь ты?

А ты знаешь, сколько будет \( \displaystyle  7/1\), например? По сути это \( \displaystyle  7\) пирогов разделить на одного человека. Сколько пирогов получит он? Семь!

Значит, \( \displaystyle  7:\frac{3}{5}=\frac{7}{1}\cdot \frac{5}{3}=\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}\).

Сложение смешанных чисел

Разберем ситуацию.

Для заготовки одной банки консервированных овощей нужно взять 1  килограмма огурцов и 1  килограмма помидоров. Сколько всего килограммов овощей нужно подготовить для консервирования одной банки овощей?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам следует найти общую массу огурцов и помидоров.  Мы видим, что количество томатов и огурцов представлены в виде смешанных чисел:

Чтобы посчитать требуемую массу, нужно выполнить сложение смешанных чисел. Для этого, мы должны отдельно сложить все компоненты. Однако, дробные части, отличаются цифрами под дробной чертой, поэтому используем правило:

Следуя правилу, приведем составляющие смешанных чисел к общему значению, стоящему под числителем. Так как два и три являются взаимно простыми числами, то НОЗ будет равен произведению данных чисел:

НОЗ(2;3) = 2×3 =6.

Соответственно, две третьих необходимо умножить на два, а одну вторую нужно умножить на три.

В результате получили дроби с одинаковыми знаменателями.

Найдем сумму значений:

Вначале, найдем НОЗ для трех восьмых и шести седьмых. Разложим цифры, стоящие под чертой на составляющие:

Расклады, не имеют общих составляющих, поэтому числа являются взаимно простыми, значит, их произведение и будет НОЗ:

Определим дополнительные множители:

56 : 8 = 7 ;

56 : 7 = 8.

Приведем дроби к общему числовому значению под числителем:

Пока провести операцию, отвечающую на главный вопрос задачи не представляется возможным, ведь составляющая уменьшаемого, представленная в виде дроби, меньше, чем вычитаемого. Используя изученное определение, представим 4*(21/56) в виде дробного числа, в котором значение над чертой будет больше, чем под нею. Для этого представим в виде суммы:

Что такое дробь, основные понятия и виды

Определение

Дробь — число, состоящее из нескольких равных долей.

По сути дробь — это деление одного числа на другое. Выделяют два вида: обыкновенные и десятичные.

Обыкновенная дробь — означает, состоящая из целых чисел. Обыкновенные, имею два типа записи к примеру:

• 1\5- разделена наклонной линией, читается как одна пятая;
• \ — горизонтальной линией.

Определения:

• Числитель — число, находящееся в верхней границе дроби;
• Знаменатель — число которое мы видим в нижней границе дроби.

Например: 1\5, где 1- числитель, 5- знаменатель. Для того чтобы проще объяснить, что такое дробь приведём простой пример. Торт разрезан на 5 кусков, если мы взяли два и них то это 2\5 (две пятые части торта).

Обыкновенные дроби имеют два типа правильные и неправильные.

Правильной дробью называется дробь с значениями, в которых числитель меньше знаменателя. Такое название данный тип дроби получил не зря, ведь так логичнее и правильнее, когда часть меньше целого.

Неправильная в свою очередь имеет обратные значения, когда числитель больше знаменателя.

_{Примечание. Дроби, у которых знаменатель и числитель одинаковы, тоже неправильные.}

Смешанная дробь. Существует также такое определение как смешанная дробь, такой вид, представляет собой дробь, состоящую из двух частей целой и дробной. Пример — 435435, где четыре это целая часть, а 3\5 дробная. Такой тип дроби можно получить, только при делении неправильного вида дробей.

Десятичные дроби. К десятичным, относят дроби которые в знаменателе имеют 10 в натуральной степени. К примеру 510,6100510,6100 и тд. Такие, так же могут иметь вид строчной записи, 0,5 и 0,06. При этом в такой записи целая часть отделяется от дробной знаком запятой.

Существуют также понятия сократимой и несократимой дроби. Сократимая дробь, это та, в которой можно произвести деление числителя и знаменателя на одно и то же число.

Несократимая дробь, если такие действия выполнить нельзя.

Составная дробь, многоуровневая или выражение, имеющее несколько черт дроби. Пример 37−3137−31

Равные и неравные дроби. Для того чтобы сказать, являются дроби равными или нет, нужно их сравнить.

Равные обыкновенные \ — можно вывести при помощи такого верного равенства а*b=d*c , если такое равенство не верно то данные дроби будут называться неравными.

Положительные и отрицательные дроби.

Положительные называют обыкновенные дроби, с положительными числами, при необходимость перед такими дробями ставится знак +, пример \.

Отрицательными, считаются дроби со знаком минус, пример \.

Стоит отметить что две дроби вида \ являются противоположными.

Алгебраическая дробь.

Отличается она тем, что на месте числителя и знаменателя находятся алгебраические значения, числа заменены буквами. Примеры —

\

Если в такой дроби буквы заменить числами, то она сразу станет обыкновенной.

Одночлен — это выражение, содержащее числа, степени положительные и их произведение. Пример: в.

Многочлен — это сумма одночленов. Пример: 7а+6в

Дроби на координате прямых.

Если рассматривать координату прямых, то положительные дроби на ней будут расположены справа от нулевого значения, а отрицательные слева.

Интересные факты

• Самая большая снежинка, согласно сообщениям ученых в диаметре достигла одной второй (половины) метра, а в толщине одной пятой метра или 20 сантиметров.
• Самый большой слиток золота в мире равен одной четвертой тонны, то есть 250 килограммов.
• 97/100 всей воды в мире, является соленой и не пригодной для использования в пищу,две сотых всей мировой влаги – ледники, её использование так же невозможно. Только одна сотая живительной влаги годится для употребления человеку.
• Наша планета на три четвертых состоит из жидкости, когда космонавты впервые увидели землю из открытого космоса, она показалась им голубым шаром. С тех пор Землю и называют «голубой планетой».
• Согласно заявлениям экологов,человеком, на земле уже уничтожено четыре пятых всех лесных массивов.
• Обычная блоха в прыжке преодолевает расстояние, превышающее её длину в 130 раз. Если бы блоха имела рост 1 м 80 см, то её прыжок составлял бы одну четвертую километра или 250 метров.

Приведение дробей к общему знаменателю

Представляешь, любые две дроби можно привести к общему знаменателю! Ну, если тебя это не поразило, ты, наверное, не понял о чем я. Вот смотри. Есть две дроби \( \displaystyle  1/3\) и \( \displaystyle  3/5\).

Тебе надо изменить эти дроби так, чтоб значение дробей не поменялось, но в знаменателе у обеих стало одно и то же число. Подскажу лишь, что для этого нужно воспользоваться основным свойством дроби.

Ладно, так и быть, покажу сам: \( \displaystyle  1/3=5/15\); \( \displaystyle  3/5=9/15\). Как ты видишь в знаменателе у обеих дробей \( \displaystyle  15\), и при этом, если сократить дроби, первую на \( \displaystyle  5\), а вторую на \( \displaystyle  3\), то получатся те же \( \displaystyle  1/3\) и \( \displaystyle  3/5\)!

Сказать, как это делается? Так и быть, тебе сегодня везет, читай ниже.

А если в выражении стоит корень?

Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.

На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.

Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.

Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Алгоритм Евклида для вычисления НОД (наибольшего общего делителя)

Не всегда, сходу, можно понять какое число является наибольшим общим числителем, особенно если числа крупные, поэтому существует специальный алгоритм для выведения такого числа НОД.

Суть алгоритма такова: для нахождения НОД чисел а и b (где они целые и положительные числа, к тому же a больше b), выполняется ряд делений с остатком, получается ряд равенств, где деление останавливается в том случае если r_k+1=0, при этом r_k=НОД(a, b)

Пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

Д (28) = 2 * 2 * 7

Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Умножение дробей

Умножать дробь на число – элементарно! \( \displaystyle  4\cdot \frac{2}{3}\ \) – вот пример, это произведение четырех и \( \displaystyle  2/3\), не путай с \( \displaystyle  4\frac{2}{3}\) – это четыре целых, две третьих!!! Ну, так вот, \( \displaystyle  4\cdot \frac{2}{3}\ =\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\).

Умножение смешанной дроби на число: \( \displaystyle  4\cdot 2\frac{2}{5}\) . Умножаешь и целую, и дробную части на \( \displaystyle  4\). Вот как это выглядит: \( \displaystyle  4\cdot 3\frac{2}{5}=12\frac{8}{5}=13\frac{3}{5}\).

Все сложнее при умножении дроби на дробь. 

Алгоритм умножения дроби на дробь

1. Если дробь смешанная, привести ее к виду обыкновенной неправильной дроби;
2. Перемножить числители дробей, перемножить знаменатели дробей;
3. Записать результат умножения числителей в числитель, а знаменателей, в знаменатель.

Вот как все делается: \( \displaystyle  3\frac{2}{5}\cdot 2\frac{1}{3}=\frac{17}{5}\cdot \frac{7}{3}=\frac{119}{15}=7\frac{14}{15}\).

Умножение десятичных дробей на число или на десятичную дробь делается просто в столбик, и без запятых. Главное не забыть что?

Правильно, после умножения поставить запятую, отсчитав справа столько знаков, сколько было в сумме у двух множителей до умножения.

Дроби – коротко о главном

Определения:

Делимое \(\displaystyle a\) – числитель дроби, а делитель \(\displaystyle b\) – знаменатель дроби.

Например: \(\displaystyle\frac{2}{5}\), \(\displaystyle\frac{1}{7}\) и так далее.

Например: \(\displaystyle\frac{9}{5}\), \(\displaystyle\frac{13}{2}\) и так далее.

Например: \(\displaystyle2\frac{2}{5}\)\( \displaystyle  \displaystyle=\frac{2\cdot 5}{5}+\frac{2}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\).

Например: \(\displaystyle\frac{9}{100}\) в виде десятичной дроби записывается как \(\displaystyle0,09\),

\(\displaystyle\frac{225}{1000}\) записывается как \(\displaystyle0,225\).

Основное свойство дроби: 

Например: \(\displaystyle\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{2}{10}\).

Действия с дробями:

Сложение/вычитание дробей

• две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: \(\displaystyle\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\)
• две обыкновенные дроби с разными знаменателями:
  • приводим дроби к наименьшему общему знаменателю;
  • складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений;
  • сокращаем полученную дробь
• две смешанные дроби с разными знаменателями: 
  • приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
  • по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части;
  • если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
  • сокращаем полученную дробь.

Умножение дробей

• умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
• умножение двух обыкновенных дробей: 
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем полученную дробь
• умножение двух смешанных чисел: 
  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем полученную дробь;
  • если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Деление дробей

• деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
• деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
• деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
• деление двух смешанных чисел: 
  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Сокращение дроби

Например: \(\displaystyle\frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}\).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

• найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
• разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
• умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например: \(\displaystyle\frac{1}{3}\) и \(\displaystyle\frac{3}{4}\). Наименьший общий знаменатель – \(\displaystyle12\).

Дополнительный множитель первой дроби – \(\displaystyle12:3=4\), дополнительный множитель второй дроби – \(\displaystyle12:4=3\).

Следовательно: для первой дроби: \(\displaystyle\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}\), для второй дроби: \(\displaystyle\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}\).

Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь

• поделите числитель дроби на ее знаменатель;
• остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
• результат от деления запишите в качестве целой части.

Например: \(\displaystyle\frac{17}{4}\) = \(\displaystyle4\frac{1}{4}\).

Сравнение дробей:

• две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
• две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
• две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше

Заимствование единицы из уменьшаемого при вычитании смешанных чисел

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$\frac{3}{85}<\frac{3}{34}$, так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби.

Представим данную разность следующим образом:

$$6\frac{3}{85}-3\frac{3}{34} = 5 + 1\frac{3}{85}-3\frac{3}{34}$$

$$5-3 + \frac{85+3}{85}-\frac{3}{34} = 2 + \frac{88}{85}-\frac{3}{34}$$

Нам нужно найти НОК для чисел $85$ и $34$.

Рисунок 5

Теперь умножим дроби на дополнительные множители и произведём вычисление.

Рисунок 6

{"questions":[{"content":"Вычислите пример и выберите правильные ответы.<br />$8\\frac{9}{10}-3\\frac{2}{5}$`choice-1`","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":,"answer":}},"step":1,"hints":},{"content":"Произведите вычисления и впишите ответ<br />$11\\frac{21}{28} + 3\\frac{3}{14} + \\frac{1}{14}$`input-10`","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"15"}},"step":1,"hints":},{"content":"Соедините примеры с ответами`matcher-38`","widgets":{"matcher-38":{"type":"matcher","labels":,"items":}},"hints":}]}

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022  (1) Сентябрь 2022  (1) Январь 2022  (2) Сентябрь 2021  (1) Июль 2021  (1) Июнь 2021  (2) Май 2021  (1) Апрель 2021  (1) Март 2021  (1) Сентябрь 2020  (1) Август 2020  (2) Июль 2020  (2) Июнь 2020  (2) Декабрь 2019  (3) Ноябрь 2019  (4) Октябрь 2019  (3) Сентябрь 2019  (2) Май 2019  (1) Октябрь 2018  (1) Июнь 2018  (1) Апрель 2018  (1) Январь 2018  (1) Ноябрь 2017  (1) Октябрь 2017  (1) Сентябрь 2017  (2) Август 2017  (4) Июль 2017  (5) Июнь 2017  (4) Май 2017  (5) Апрель 2017  (2) Март 2017  (1) Февраль 2017  (1) Январь 2017  (3) Декабрь 2016  (1) Ноябрь 2016  (2) Октябрь 2016  (3) Сентябрь 2016  (4) Август 2016  (6) Июль 2016  (9) Июнь 2016  (4) Май 2016  (5) Апрель 2016  (6) Март 2016  (5) Февраль 2016  (8) Январь 2016  (8) Декабрь 2015  (9) Ноябрь 2015  (4) Июль 2015  (1) Март 2015  (1) Февраль 2015  (1) Январь 2015  (1) Июль 2014  (1) Июль 2013  (1) Март 2013  (2) Декабрь 2012  (1) Ноябрь 2012  (1) Сентябрь 2012  (3) Август 2012  (4) Июль 2012  (4) Июнь 2012  (4) Май 2012  (4) Апрель 2012  (5) Март 2012  (7) Февраль 2012  (8) Январь 2012  (7) Декабрь 2011  (5) Ноябрь 2011  (1)

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби:

т.е. при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1

Найти сумму $\frac{17b^2}{a}+\frac{24\ b^2}{a}$

Данные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их суммы воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим

\

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

\

т.е. при вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель уменьшаемой исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Пример 2

Найти разность двух дробей $\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}$

Исходные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их разности воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим

\

Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо изменить знак в числителе дроби. Чтобы это сделать, вспомним, что для того, чтобы получить тождественное выражение, необходимо воспользоваться следующим свойством:

Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью. Тогда получим:

\

Теперь для преобразования дроби воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что $16=4^2$, значит указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители

\

Тогда получаем

\

Заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь

\

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

При­мер 2. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

Ал­го­ритм ре­ше­ния аб­со­лют­но ана­ло­ги­чен преды­ду­ще­му при­ме­ру. Легко по­до­брать общий зна­ме­на­тель дан­ных дро­бей:  и до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли для каж­дой из них.

.

Ответ:.

Итак, сфор­му­ли­ру­ем ал­го­ритм сло­же­ния и вы­чи­та­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми:

1. Найти наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей.

2. Найти до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли для каж­дой из дро­бей (по­де­лив общий зна­ме­на­тель на зна­ме­на­тель дан­ной дроби).

3. До­мно­жить чис­ли­те­ли на со­от­вет­ству­ю­щие до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли.

4. Сло­жить или вы­честь дроби, поль­зу­ясь пра­ви­ла­ми сло­же­ния и вы­чи­та­ния дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми.

Рас­смот­рим те­перь при­мер с дро­бя­ми, в зна­ме­на­те­ле ко­то­рых при­сут­ству­ют бук­вен­ные вы­ра­же­ния.

При­мер 3. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

По­сколь­ку бук­вен­ные вы­ра­же­ния в обоих зна­ме­на­те­лях оди­на­ко­вы, то сле­ду­ет найти общий зна­ме­на­тель для чисел . Ито­го­вый общий зна­ме­на­тель будет иметь вид: . Таким об­ра­зом, ре­ше­ние дан­но­го при­ме­ра имеет вид:.

Ответ:.

При­мер 4. Вы­честь дроби: .

Ре­ше­ние:

Если «схит­рить» при под­бо­ре об­ще­го зна­ме­на­те­ля не уда­ёт­ся (нель­зя раз­ло­жить на мно­жи­те­ли или вос­поль­зо­вать­ся фор­му­ла­ми со­кра­щён­но­го умно­же­ния), то в ка­че­стве об­ще­го зна­ме­на­те­ля при­хо­дит­ся брать про­из­ве­де­ние зна­ме­на­те­лей обеих дро­бей.

.

Ответ:.

Во­об­ще, при ре­ше­нии по­доб­ных при­ме­ров, наи­бо­лее слож­ным за­да­ни­ем яв­ля­ет­ся на­хож­де­ние об­ще­го зна­ме­на­те­ля.

Сокращение алгебраической дроби

Так же, как и в примерах выше, сокращение алгебраической дроби, это деление числителя и знаменателя на общий делитель. Отличие в том, что в алгебраической, таким общим множителем является многочлен и одночлен.

Для того чтобы сократить такие дроби нужно пройти три этапа:

• Определение множителя, который будет общим для числителя и знаменателя;
• Сокращение коэффициента;
• Деление числителя и знаменателя на множитель.

Сокращая дробь со степенями, применяется правило деления степеней с равными основаниями.

Формула:

\

Рассмотрим пример сокращения со степенями:

\[
\frac{x^{3}}{x^{2}}=\frac{x^{3} / x^{2}}{x^{2} / x^{2}}=\frac{x^{3-2}}{x^{2-2}}=\frac{x^{1}}{x^{0}}=\frac{x}{1}=x
\]

Исходя из вышеописанной схемы:

• Сокращаем x3 и x2;
• Производим деление выбирая меньшее значение степени;
• Вычитаем.

В результате получаем сокращенную дробь.

Не забываем, что сократить можно только одинаковые буквенные множители.

Сокращение дробей с одночленами.

Пример\

Решение:

8 — тот самый множитель, который является общим

Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Дроби с многочленами: сокращение.

Для сокращения таких видов, существует два правила:

• Сократить многочлен в взятый в скобки, можно только с точно таким же многочленом в скобках;
• Сократится должен весь многочлен, взятый в скобки, нельзя сократить только часть.

Пример: \

Вынесение общего множителя при сокращении.

Бывают случаи, когда при сокращении алгебраической дроби с многочленами, их нет одинаковых, в таком случае нужно убрать общий множитель за скобки.

Для такого вынесения тоже существуют правила их 4:

1. необходимо найти число, на которое можно разделить числа каждого одночлена;
2. необходимо также найти буквенный множитель, который повторяется, в каждом одночлене, их может быть несколько;
3. выносим буквенный множитель, который был найден, за скобки;
4. производим работу с оставшимися многочленами в скобках.

Для того чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо по очереди умножить каждый член многочлена на одночлен.

Приведём пример:

\

Матвокс ⋆ решение дробных уравнений. пример 8 ⋆ энциклопедия математики

Для решения этого уравнения не будем применять основное свойство пропорций.

Перенесем все в левую часть уравнения:

• На этом шаге нужно приводить все слагаемые к общему знаменателю.
• Если внимательно посмотреть на знаменатели дробей, то можно увидеть, что один из них – это квадратный трехчлен.
• В таких ситуациях нужно всегда пытаться разложить его на множители, так как это может позволить упростить поиск общего знаменателя.
• Таким образом, разложим на множители:

Для этого приравняем к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

Корнями квадратного уравнения будут:

И:

Разложим уравнение на множители:

Уравнение примет вид:

Очевидно, данное разложение на множители сильно упростило дальнейшие вычисления.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и запишем в виде одной дроби:

Отсюда:

1. Упростим:
2. Отсюда:

В числителе записано выражение, а не число, значит переходим к шагу 7.

• Приравняем числитель к нулю и решим полученное уравнение:
• Так как можно все элементы уравнения делить на любое число, отличное от нуля, то разделим их на -2:
• Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
• Корнями квадратного уравнения будут:
• и
• Полученные корни не сложные для дальнейших вычислений, и, если посмотреть на знаменатель, то и он не сложный для нахождения ОДЗ.
• Поэтому в данном случае можно выбрать любой из вариантов алгоритма.

Найдем ОДЗ изначального уравнения. Поэтому переходим к шагу 9 алгоритма.

1. Найдем значения, при которых знаменатель изначального уравнения не равен нулю:
2. Произведение не равно нулю, когда каждый из множителей не равен нулю:
3. Отсюда:

• На этом шаге выберем корни уравнения, полученные на шаге 7, попадающие в ОДЗ.
• Итак:
• и
• При этом:
• и
• Таким образом, корень, равный -2 не попадает в ОДЗ, и значит его нужно исключить из ответа.

Можно провести проверку корня.

1. Ответ:
2. Корень дробного уравнения равен 1:

Сложение и вычитание чисел

Что собой представляет сложение и вычитание чисел? Это перенос точки, означающей число вперед или назад по числовой прямой. Под словом вперед подразумевается перенос точки вправо относительно нуля. Соответственно, под словом назад подразумевается перенос точки числа влево на числовой прямой.

В результате вычитания может получиться отрицательное число: если при переносе числа влево точка уйдет за границу нуля. Это вполне логично. Но может ли получится отрицательное число при сложении?

Под точкой числа подразумевается точка на числовой прямой, которой соответствует определенное число. Число может быть абсолютно любым, так как на числовой прямой может быть отмечено любое существующее действительное число.

Запомните, при сложении двух отрицательных чисел результатом всегда будет отрицательное число. При этом, если прибавлять к отрицательному числу положительное, то отрицательное получится только если отрицательное число больше положительному по модулю.

Значит, чтобы число переменило знак на противоположный, нужно чтобы при переносе точки числа, она пересекла рубеж нуля. Например:

30-46=0-16=-16 – точка зашла за рубежную отметку нуля на 16 единиц.

Перемена знаков у членов дроби

Если числитель и знаменатель дроби заменить величинами, им противоположными, то значение дроби не изменится, так как эта операция равносильна умножению числителя и знаменателя на одно и то же число —1. Например,

Если числитель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Например:

Если знаменатель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Например:

Примечание. Так как а — b и b — а являются величинами противоположными, то всегда представляет собой минус единицу, если только

Если же а = b , то выражение обращается в и потому смысла не имеет.

Пример задачи с смешанными числами, имеющими разные знаменатели

Образавр, Вообразавр и Иксератопс собирались на пикник. Договорились, что каждый принесёт угощение. Все они купили по две пиццы.

Но по дороге к месту пикника Вообразавру захотелось есть, и он съел четвертинку пиццы. У него осталось $1\frac{3}{4}$ пиццы.

Иксератопс тоже захотел полакомиться пиццей по дороге, он съел третью часть, и принёс $1\frac{2}{3}$ пиццы.

Когда Образавр увидел, что остальные не стерпели и начали есть пиццу без него, ему стало обидно, он взял и съел сразу половину от одной из своих пицц. И у него получилось $1\frac{1}{2}$ пиццы.Вот стоят друзья и думают, сколько же пиццы получилось у них в итоге?

Рисунок 1