Как решать уравнения с модулем: 10 шагов

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b

Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х2 – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Уравнения с модулем

Научимся решать уравнения, в которых присутсвует модуль. В самом общем виде, их можно представить так: ∣f∣=g, причем под f и g могут оказать не только переменные, но и целые функции. Как решить это уравнение относительно f?

Уравнения с модулем вида ∣f∣=g

Уравнение вида ∣f∣=g имеет два решения вида f=g и f=−g, если g≥ и не имеет решений вовсе, если g<.

Доказательство

Докажем сначала для случая, когда g<. В этом случае, какое f ни возьми, его модуль всегда будет , поэтому не существует такого числа f, при котором получили бы равенство ∣f∣=g.

Пусть теперь g≥. Тогда мы можем возвести обе части равенства в квадрат и воспользоваться связи модуля и квадрата:

∣f∣2=g2f2=g2f2−g2=(f−g)(f+g)=

В левой части равенства ноль можно получить только когда какая-то из скобок равна . Отсюда два возмножных решения:

f−g=f+g=

f=gf=−g

■

Пример

Решите уравнение с параметром:

∣x+a∣=a−8

Решение

Определим, при каких a решений у уравнения не будет. Решений у него не будет, когда его правая часть отрицательная, то есть при a<8. Для a≥8 исходное уравнение по доказанной выше теореме разбивается на два:

x+a=a−8x+a=−a+8

Откуда получаем два корня:

x=−8x=−2a+8

Обратите внимание, что левый корень не зависит от a

Модуль аргумента и модуль функции

Внимание: мелкие рисунки увеличиваются щелчком левой клавиши мыши.

Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

Модуль переменной (абсолютная величина значения) определяется следующим образом:

если если

В контексте построения графиков это означает использование преобразования симметрии относительно осей координат.

Iy = f(|x|)

Построить график функции .
Исключить его часть, расположенную в отрицательной половине оси абсцисс. (Например, просто стереть ластиком, если график был построен карандашом.)
Построить левую ветвь графика (при отрицательных x) симметричным отображением его правой ветви относительно оси Oy.

Построить график функции .
Участок графика, расположенный ниже оси абсцисс (при отрицательных y) развернуть на верхнюю половину координатной сетки преобразованием симметрии относительно оси Ox.

Пример 1.

В этом примере оба графика получены из графика функции Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|), второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)|.

Пример 2.

Один из способов быстро и точно построить исходную параболу по характерным точкам показан в видео на канале Mathematichka.

IIIпоследовательность преобразований

1.
2.
3.
4.
5.

IV Равенство вида по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции . Для этого нужно:

Построить график функции .
Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.

6.
7.
8.

Пример 3.

Задан график функции . Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, .

Заметим, что (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду
и строим её график последовательными преобразованиями.

Строим график функции переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
Строим график функции с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
Строим линии, удовлетворяющие уравнению с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

1.
2.
3.
4. 5.
6.

1.	2.	3.	4.
5.	6.

Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

Пример 4.

Задан график функции . Построить график функции .

Показать ответ

Неравенство треугольника

В геометрии у треугольников есть замечательное свойство, заключающееся в том, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух оставшихся. Это свойство называется «неравенством треугольника».

Например, пусть у нас есть какой-то треугольник ABC. Тогда длина стороны AC меньше суммы длин сторон AB и BC:

AC≤AB+BC

В некоторых учебниках по геометрии различают сам отрезок (например, AB) и его длину ∣AB∣. Если пользоваться этими обозначениями, неравенство треугольника примет следующий вид:

∣AC∣≤∣AB∣+∣BC∣

Оказывается, в алгебре есть очень похожее неравенство, но связано оно не с отрезками и их длинами, а с числами и их модулями. Из-за внешнего сходства это неравенство тоже называют неравенством треугольника.

∣x±y∣≤∣x∣+∣y∣

Доказательство

Слева и справа имеем положительные числа, поэтому можно возвести в квадрат обе части неравенства и воспользоваться связи модуля и квадрата:

∣x±y∣∣x±y∣2×2±2xy+y2x2±2xy+y2±xy≤∣x∣+∣y∣≤(∣x∣+∣y∣)2≤∣x∣2+2∣x∣∣y∣+∣y∣2≤x2+2∣x∣∣y∣+y2≤∣x∣∣y∣

Для правой части воспользуемся произведения модулей:

±xy≤∣xy∣

Рассмотрим отдельно варианты неравенства с + и −:

xy≤∣xy∣−xy≤∣xy∣=∣−xy∣

Оба неравенства всегда выполняется. Первое выполняется, так как модуль всегда аргумента. Второе выполняется по этому же свойству, а также из-за того, что модули противоположных чисел .

■

С геометрией и треугольниками все понятно. А в чем смысл неравенства треугольника с модулями? А смысл в том, что оно задает максимально возможный результат, который можно получить с помощью сложения или вычитания двух чисел.

Например, пусть у нас есть два числа: 2 и −3. Какой максимальный результат можно получить из этих двух чисел, пользуясь только сложением и вычатнием? Проверим все 4 возможных варианта напрямую:

2+(−3)=−3+2=−12−(−3)=5−3−2=−5

Видим, что максимальное значение равно 5. Такое же значение получаем и по доказанному выше неравенству. Итак, максимально возможное значение равно сумме модулей этих двух чисел. На самом деле, это кажется вполне логичным.

Есть также похожее неравенство, но с разностью модулей. Его называют обратным неравенством треугольника.

∣x∣−∣y∣≤∣x±y∣

Доказательство

Если ∣x∣−∣y∣ меньше , то неравенство выполняется, так как модуль всегда .

Пусть тогда ∣x∣−∣y∣≥. Возведем обе части неравенства в квадрат и воспользуемся связи модуля и квадрата:

(∣x∣−∣y∣)2∣x∣2−2∣xy∣+∣y∣2×2−2∣xy∣+y2−∣xy∣≤∣x±y∣2≤x2±2xy+y2≤x2±2xy+y2≤±xy

Умножим обе части неравенства на −1 с переменой знака неравенства:

∓xy≤∣xy∣

Это неравенство всегда выполняется (см. неравенства треугольника).

■

По аналогии с предыдущим доказанным неравенством, обратное неравенство треугольника дает нам минимальное возможное значение, которое можно получить, рассматривая сумму или разность двух чисел.

Оба доказанных неравенства можно объединить в одно цепное. Так его проще запомнить и использовать:

∣x∣−∣y∣≤∣x±y∣≤∣x∣+∣y∣

«Величина» числа

Сначала попытаемся сформулировать понятие о «величине» числа. Из этого понятия естественным образом получим понимание, откуда взялся и как определить модуль.

Геометрический смысл

Представьте, что вы стоите в точке на числовой оси. Слева от вас, в точке −1, находится школа. Справа, в точке 5, находится ваш дом. Математически число −1 меньше, чем 5. Но вот идти до школы 1 метров влево гораздо дольше, чем пройти 5 метров до дома вправо. В этом смысле «величина» пройденного расстояния в −1 метров больше, чем 5 метров.

Пусть теперь школа находится в точке −1, а дом в точке 1. Математически вновь получаем, что −1 меньше 1. Но вот нам, находящимся в , совершенно нет разницы: идти −1 метров влево или 1 метров вправо. В обоих случаях мы пройдем 1 метров. То есть, по «величине» числа −1 и 1 равны.

Количественный смысл

Рассмотрим числа 5 и −1. В математическом смысле −1 гораздо меньше 5. А давайте посмотрим на эти числа под другим углом. У вас есть всего 5 рублей и вы задолжали другу. Ваш долг составляет −1 рублей. В этом смысле «величина» вашего долга в −1 рублей гораздо больше имеющихся у вас 5 рублей. Получается, что математически −1 меньше 5, но по «величине» −1 больше 5.

Теперь рассмотрим числа −1 и 1. Математически, опять же, −1 меньше 1. Но, пользуясь нашей аналогией с долгом, своими 1 рублями вы полностью покроете долг в −1 рублей. То есть, по «величине» число −1 равно числу 1.

Понятие величины

Мы поняли, что каждое число имеет свою «величину». Причем эта величина не зависит от того, положительным или отрицательным является число. Можно даже сказать, что «величина» числа это и есть само число, от которого «отбросили» его знак.

Уравнения и неравенства с модулем

Перед тем, как перейти к этой части, повторите, как решаются обычные уравнения и неравенства с одной переменной.

Уравнения

Приступая к задачам с $ \left|M\right| $, нужно все время помнить, что внутри знака может скрываться как положительное выражение, так и отрицательное.$ \left|3-x\right|=5\;\Rightarrow\;3-x=5\;или\;3-x=-5. $ Поэтому решить нужно оба варианта уравнения: x = 3 — 5 x = 3 — (- 5) x = — 2 x = 8Корни уравнения: — 2 и 8.Или посложнее: $ \left|6-5x\right|=2x+1 $Сразу напомним себе, что $ 2x+1\geq0 $, следовательно, $ 2x\geq-1,\;и\;x\geq-\frac12 $.Теперь два варианта для положительного и отрицательного выражения под знаком $ \left|M\right| $6 — 5x = 2x + 1 или 6 — 5x = — 2x — 1 7x = 5 3x = 7x = $ х=\frac57 $ x = $ х=\frac73 $ x = $ х=2\frac13 $Все условия соблюдены, уравнение имеет два корня: $ \frac57 $ и $ 2\frac13 $.

Неравенства

Таблица 1. Неравенства

Фактически придется решить два неравенства. Подробнее на примере: $ \left|x-6\right|<12 $ (помним про возможные “+12” и “-12”).Определим промежуток для $ \left|М\right|:-12<x-6<12 $Составим систему из двух неравенств и решим их:$ -12<x-6\;\Rightarrow\;x>-\;6 $ $ \;x-6<12\;\Rightarrow\;x<18 $Таким образом, корни неравенства – все значения x ∈ (-6;18).А теперь то же самое с противоположным знаком: $ \left|x-6\right|>12 $Выражение в $ \left|M\right| $ должно стать “меньше маленького” и “больше большого”:$ \;x-6<-12\;\Rightarrow\;x<-6 $$ x-6>12\;\Rightarrow\;x>18 $Корни неравенства – x ∈ (- ∞ ; — 6) ∪18; + ∞).

40.679. Уравнения с модулем

Определение

Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна −а, если а меньше нуля:

$|a|=\left\{\begin{aligned}&a,&\hskip-10pt если\ a\ge0; \\ &-a,&\hskip-10pt если\ a

Из определения следует, что для любого действительного числа а, │а│ ≥ 0.

Геометрически │а│ означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.

Если а ≠ 0, то на координатной прямой существует две точки а и −а, равноудаленной от нуля, модули которых равны.

Если а = 0, то на координатной прямой │а│изображается точкой 0.

Графиком функции y = │x│ является «уголок».

I) Уравнения вида │f (x) │ = A, A ϵ R решаются следующим образом:

Если A 0, то корней нет.

Если A = 0, то уравнению │f (x) │ = A соответствует уравнение f (x) = 0.

Если A > 0, то уравнению │f (x) │ = A соответствует равносильная совокупность:

$\left[\begin{aligned}&f(x)=A\\&f(x)=-A\end{aligned}\right.$

II) Уравнения вида │f (x)│ = g (x) решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению │f (x)│ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

$\left[\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &g(x)\ge0\\ &f(x)=g(x) \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} g(x)&\ge0\\ -f(x)&=g(x)\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned} \right.$

Способ №2

Уравнению │f (x) │ = g (x) соответствует равносильная совокупность систем:

$\left[\begin{aligned} &\left\{\begin{aligned} &f(x)\ge0\\ &f(x)=g(x) \end{aligned}\right.\\ &\left\{\begin{aligned} f(x)&\ge0\\ -f(x)&=g(x)\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned} \right.$

III) Уравнения вида │f (x) │ = │g (x) │ решаются следующим образом:

Способ №1

Уравнению │f (x) │ = │g (x) │ соответствует равносильное уравнение f2 (x) = g2 (x).

Способ №2

Уравнению │f (x)│ = │g (x) │ соответствует равносильная совокупность:

$\left[\begin{aligned}&f(x)=g(x)\\&f(x)=-g(x)\end{aligned}\right.$

IV) Уравнения вида │f (x) │ = −f (x) и │f (x) │ = f (x) решаются следующим образом:

Уравнению │f (x) │ = −f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≤ 0.

Уравнению │f (x) │ = f (x) соответствует равносильное неравенство f (x) ≥ 0.

V) Общая схема решения уравнений содержащих знак модуль.

Например:

│x2 − 1│ + │x2 − 4│ = 3.

Найдем нули выражений, стоящих под знаком модуль.

x = ±1, x = ±2.

И раскроем модуль на каждом из 5 промежутков, на которые оказалась разделена числовая ось числами x = ±1, x = ±2.

I) $\left\{\begin{aligned}&x\le-2\\&x^2-1+x^2-4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\le-2\\&x=\pm2\end{aligned}\right.$

(−∞; −2] — промежуток, значит в ответ попадает только решение x = −2.

II) $\left\{\begin{aligned}&-2

В ответ будет входить весь промежуток.

III) $\left\{\begin{aligned}&-1\le x\le1\\&-x^2+1-x^2+4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&-1\le x\le1\\&x=\pm1\end{aligned}\right.$

Оба решения попадают в рассматриваемый промежуток.

IV) $\left\{\begin{aligned}&1

В ответ будет входить весь промежуток.

V) $\left\{\begin{aligned}&x\ge2\\&x^2-1+x^2-4=3\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x\ge2\\&x=\pm2\end{aligned}\right.$

[2; +∞) — промежуток, т. е. подходит решение x = 2.

Ответ: $\cup$.

Прочитано
Отметь, если полностью прочитал текст

§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа )

Комплексным числомz называется выражение следующего вида:

i — это мнимая единица , определяемая равенством i 2 = –1.

числу z

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1,

i,i

2)z = –1 +

izzi,i

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0,

Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3,

iiii

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства )

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

Комплексное число z изображается точкой (x , y ) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа? )

Модулем комплексного числа

Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z , или полярный радиус точки (x , y ).

Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x , y )).

Обозначение

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

причем, при определении угла

Так как геометрически очевидно, что

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

то есть для z = 0 будет

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой

2)(1 + 4i )∙(1 – 4i ) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

3)z 1×(z 2 + z 3) = z 1×z 2 + z 1×z 3 — дистрибутивность относительно сложения;

Деление комплексных чисел

Деление — это обратная умножению операция, поэтому

если z ×z 2 = z 1 и z 2 ¹ 0, то

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Вычислить (1 + i )10.

1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов

2. Значение

при этом значения всех возможных углов

очевидно, что

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Корнем степени n из комплексного числа z , где

wwnz

Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.

Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:

zzn

где

Все значения

Ответ:

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа

где

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

Пусть

Тогда

Числа

Используем определение

так как

Из этих равенств следуют формулы Эйлера

по которым тригонометрические функции

Перемещение и путь (расстояние)

Эти понятия на первый взгляд очень похожи. Но разница есть, и существенная. Попутешествуем еще немного вдоль числовой прямой. Движение направо – “плюс”, налево – знак “минус”. Начальная точка – “0” (рис. 3):

таксист отвез клиента на станцию “100 км” и привез обратно;
затем съездил с клиентом к “-100 км” и вернул его назад.

Рис. 3. Перемещение и путьНа сколько километров переместилась машина от начальной точки за время движения? Как далеко от “0” она оказалась в конце пути?+100 — 100 — 100 + 100 = 0 – автомобиль к концу движения оказался в исходной точке. Перемещение = 0. Должен ли пассажир платить за услугу?
А теперь посчитаем, какое расстояние проехал таксист, двигаясь по дороге вправо и влево. Раз речь идет о расстоянии, записываем весь маршрут, используя необходимые символы:

так: $ \left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|+\left|100\right|=400 $ км
или так: $ 4\times\left|100\right|=400 $ км проехал автомобиль

Расстояние = 400 км. Конечно же, пассажир должен заплатить за эту поездку.

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке величина будет отрицательной, а на интервале будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

для x + 2 ≥ 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).

для х + 2 &lt, 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что не лежит в промежутке. Ответ: x = 0

Ответ: x = 0.

Пример решения

Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z 4 + 8z 2 — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z 4 + 8z 2 — 20 = 4 и — = 4.
Упрощение: 4z 4 + 8z 2 — 20 — 4 = 4z 4 + 8z 2 — 24 = z 4 + 2z 2 — 6 = 0 и -4z 4 — 8z 2 + 20 — 4 = -z 4 + 2z 2 — 4 = 0.
Решение z 4 + 2z 2 — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z 2 : t 2 + 2t — 6 = 0.
Дискриминант: D1 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = ^2.
Корни: t1 = / 2A = / 2 = -1 — (7)^(½) и t2 = -1 + (7)^(½).
Окончательное решение первого уравнения: z1 = ^(½) и z2 = -^(½).
Решение второго уравнения с w = z 2 : w 2 + 2w — 4 = 0.
Дискриминант: D2 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = ^2.
Корни: w1 = / 2A = / 2 = -1 — (5)^(½) и w2 = -1 + (5)^(½).
Нахождение искомых корней: z3 = ^(½) и z4 = -^(½).

Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.

Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.

Заключение

Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным. Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов. Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов

Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.

В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:

когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него,
если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение,
если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.

Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.