Способы создания формул
Создание формул текстом
Простейшие формулы набираются как обычный текст.
Пример набора простой формулы как обычного текста
Возможности Word позволяют, к примеру, делать надстрочные и подстрочные символы.
Для этого символ выделяется, а затем нажимается формат “Надстрочный символ” в меню под выбором шрифта. Там же находится кнопка “Подстрочный символ”.
Оформление формулы с использованием надстрочного символа
Если эти кнопки отсутствуют, можно сделать символ подстрочным или надстрочным через меню “Шрифт”.
Оформление формулы с использованием построчного символа
Создание формул в редакторе формул
Встроенный редактор формул в Word позволяет использовать несколько готовых формул и создавать свои. Он запускается через меню “Вставка”.
Создание формул в редакторе формул
Затем выбирается готовая формула и при необходимости видоизменяется.
Выбор готовой формулы
Создание формул в редакторе Microsoft Equation
Также есть возможность выбрать “Создать новую формулу” в редакторе Microsoft Equation, где она составляется с нуля.
Пример работы в Microsoft Equation
После этого появляется поле для ввода формулы при помощи этого инструмента.
Создание новой формулы
Создание формул в виде изображений
В докладах или курсовых работах нередко используются скриншоты формул из учебников, если писать их вручную слишком сложно.
Иногда встречаются рукописные формулы, которые пишут на бумаге, сканируют и вставляют в документ как изображение. Например, так составляют формулы в рукописных версиях диссертаций.
Однако нельзя комбинировать в одной формуле напечатанные и написанные вручную символы.
Пример формулы в виде изображения
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Как решать уравнения алгебра 7 класс
Начнем с решения линейных уравнений (на рисунке показано, по какому принципу они устроены). Чтобы найти ответ в таких уравнениях, нужно совершать действия: раскрытие скобок, поиск подобных слагаемых, умножение/деление частей на одно и тоже число, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Всё зависит от конкретного примера.
Рассмотрим несколько примеров пошагового решения линейных уравнений.
Пример 1.6x + 24 = 0
Поскольку части уравнения (левая и правая) равны, то можно отнять из каждой одинаковое число. Равенство не изменится, а пример станет значительно проще. В представленном уравнении отняли 24 и слева, и справа. В левой части 24 сократилось, а в правой (0 — 24) получилось -24 (не забываем ставить знак минуса).
Получилось: 6x = -24. Теперь можем сократить 6 и -24 на число 6 (или рассуждаем так: чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель). В ответе будет -4. Не забудьте в самом конце подставить полученное число вместо х. Совпал ответ — значит, все правильно.
Можно рассуждать проще: чтобы упростить уравнение, нужно из левой части отправить в правую число 24, поменяв его знак. Равенство сохранится (на рисунке ниже).
Пример 2.
9 + 16x = 41 + 14x
Это уравнение более сложное
Здесь важно запомнить несколько моментов:
- числа без х переносятся в левую часть, а с х — в правую;
- при переносе знаки меняют.
Пример 3.
7(10 — 4x) + 5x = 12 — 3(5x + 2)
Алгоритм решения:
- Раскрыть скобки, выполнив умножение: 7 умножаем на каждое число в скобках (в правой части -3 на каждое). При выполнении действия не забывайте сохранять знаки.
- Записываем уравнение, получившееся после раскрытия скобок. Ещё раз сверяем знаки.
- Числа с х отправляются в левую часть, без х — в правую. Знаки чисел, которые переходят в другую часть, меняем.
- Подсчитываем результат с обеих сторон.
- Делим -64 на -8 и получаем ответ. Не забываем, что минус на минус при делении и умножении дают плюс.
В рассмотренных уравнениях корень точно определён. Так получается не всегда.
Пример 4.
В этом примере корней нет, так как любое число, которое умножают на 0, будет равно 0 (21 никак не получится).
Линейные уравнения. Решение линейных уравнений. Правило переноса слагаемого.
Для этого:
- — упростить уравнение;
- — найти общий знаменатель;
- — определить дополнительные множители для каждого члена уравнения;
- — умножить числители дробей и целые числа на дополнительные множители и записать все члены уравнения без знаменателей (общий знаменатель можно отбросить);
- — привести подобные члены;
- — вычислить неизвестное.
- — перенести слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую от знака равенства, получив равносильное равенство;
- Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
- Обе части уравнения можно умножать (делить) на одно и то же число, кроме 0.
- В любой части уравнения можно приводить подобные слагаемые или раскрывать скобку.
В примере выше для решения уравнения были использованы все его свойства.
с – 3,6 = — 8 А как решить такое уравнение?
Черный король жил в Черном королевстве на правом берегу реки, а Белый король – в Белом на левом берегу.
Между королевствами протекала очень бурная и опасная река.
Переправиться через эту реку ни вплавь, ни на лодке было невозможно. Нужен был мост! Строительство моста шло очень долго, и вот, наконец, мост построили.
- , учитель начальных классов
Разделы: , Цели:
- развивать мышление, математическую речь учащихся;
- сформировать представления учащихся об уравнении как предложении с переменной;
- учить находить неизвестный компонент действий с комментированием выполняемой операции по алгоритму, называя компонент действия;
- воспитывать интерес к профессиям.
- закрепить понятие корня уравнения;
- отрабатывать вычислительные навыки, умение решать задачи;
Оборудование:
- иллюстрации с профессиями (врач, моряк, летчик, телеграфист, машинист, водитель);
- учебник “Математика” 3 класс.
- таблица алгоритма решения уравнений;
I. Организационный момент II. Вступительное слово учителя Учитель: Урок математики. Сегодня на уроке мы познакомимся с некоторыми профессиями.
Многие из вас уже, наверно, задумывались над тем, кем он станет, когда вырастет.
КГУ «Средняя школа № 1» акимата города Рудного Урок математики в 6 классе по теме «Решение уравнений с помощью переноса слагаемых их одной части уравнения в другую и использование правил раскрытие скобок» изучается в разделе «Линейные уравнения и линейные неравенства»
Цели урока: * отрабатывать навык решения уравнений, основанный на использовании их свойств, текстовых задач с помощью уравнений; * повторить теоретический материал по теме «Решение уравнений»; *развивать грамотную математическую речь, внимание и память; * воспитывать самостоятельность при решении уравнений
Тип урока обобщениеи закрепление изученного материала Методы обучения: проблемно – диалогический, развивающее обучение Форма работы: самостоятельная, работа в парах, работа в группах, фронтальная работа Ожидаемый результат: После проведения урока учащиеся смогут: * сформулировать правило переноса слагаемых их одной
Меню
Вход / / / / В этом уроке мы закрепим навыки решения уравнений. Покажем решение уравнения способом переноса слагаемых из одной части в другую, изменив при этом их знаки.
Сформулируем алгоритм решения уравнения, содержащего подобные слагаемые.
Введем понятие линейного уравнения.
Вам уже много раз приходилось решать различные уравнения. Давайте вспомним, что же называется уравнением.
Определение Уравнение – это равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.
Значение переменной, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни, или убедиться, что уравнение не имеет корней. Разберёмся, как же решают уравнения.
Итак, первое уравнение Но можно решить это уравнение другим способом.
Решение дробно-рациональных уравнений
До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.
Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:
С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:
Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.
Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:
1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.
2) Решают полученное целое ур-ние.
3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.
Пример. Решите ур-ние
Решение.
Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:
2х2 – 3х – 2 = х2(х – 2)
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
2х2 – 3х – 2 = х3– 2х2
х3 – 2х2 – 2х2 + 3х + 2 = 0
х3 – 4х2 + 3х + 2 = 0
У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:
23 – 4•22 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0
Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):
Получили, что х3 – 4х2 + 3х + 2 = (х – 2)(х2 – 2х – 1)
Тогда ур-ние примет вид:
(х – 2)(х2 – 2х – 1) = 0
х – 2 = 0 или х2 – 2х – 1 = 0
Решим квадратное ур-ние:
D =b2 – 4ас = (– 2)2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8
Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии
в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:
х – 2 = 2 – 2 = 0
Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.
Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:
Пример. Найдите все корни ур-ния
Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х2 + х – 2)(х2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х2 + х как у:
у = х2 + х
Тогда уравнение примет вид
Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):
Знаменатель должен равняться нулю:
4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0
4у – 80 + 28у – 56 + у2 – 20у – 2у + 40 = 0
у2 + 10у – 96 = 0
Решаем квадратное ур-ние:
D =b2 – 4ас = (10)2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484
Получили, что у1 = – 16, а у2 = 6. Произведем обратную замену:
у = х2 + х
х2 + х = – 16 или х2 + х = 6
х2 + х + 16 = 0 или х2 + х – 6 = 0
Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:
D =b2 – 4ас = (1)2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63
А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:
D = b2 – 4ас = (1)2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25
Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии
в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.
Ответ: – 3 и 2.
При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.
Пример. Сколько корней имеет уравнение
Решение. Построим графики функций у = х2 – 4 и у = 2/х:
Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.
Ответ: 3 корня.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Как решаем:
-
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
6x — 5x = 10
-
Приведем подобные и завершим решение.
x = 10
Ответ: x = 10.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12
Как решаем:
- Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
-4x = 12 | : (-4)
x = −3
Ответ: x = −3.
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Бесплатные занятия по английскому с носителем
Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.
Записаться на интенсив
Линейные уравнения с двумя переменными
Теперь перейдем к чуть более сложному – линейным уравнениям с двумя переменными.
Линейные уравнения с двумя переменными имеют вид:
\( \displaystyle ax+by+c=0\), где \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\) и \( \displaystyle c\) – любые числа и \( \displaystyle a\ne 0\).Как ты видишь, вся разница только в том, что в уравнение добавляется еще одна переменная. А так все то же самое – здесь нет иксов в квадрате, нет деления на переменную и т.д. и т.п.
Какой бы привести тебе жизненный пример… Возьмем того же Васю. Допустим, он решил, что каждому из 3-ех друзей он даст одинаковое количество яблок, а \( \displaystyle 2\) яблока оставит себе.
Сколько яблок нужно купить Васе, если каждому другу он даст по \( \displaystyle 1\) яблоку? А по \( \displaystyle 2\)? А если по \( \displaystyle 3\)?
Зависимость количества яблок, которое получит каждый человек к общему количеству яблок, которое необходимо приобрести будет выражена уравнением:
\( \displaystyle y=3x+2\), где
- \( \displaystyle x\) – количество яблок, которое получит \( \displaystyle 1\) человек (\( \displaystyle 1\), или \( \displaystyle 2\), или \( \displaystyle 3\));
- \( \displaystyle 2\) – количество яблок, которое Вася возьмет себе;
- \( \displaystyle y\) – сколько всего яблок нужно купить Васе с учетом количества яблок на человека.
Решая эту задачу, мы получим, что если одному другу Вася даст \( \displaystyle 1\) яблоко, то ему необходимо покупать \( \displaystyle 5\) штук, если даст \( \displaystyle 2\) яблока – \( \displaystyle 8\) и т.д.
И вообще. У нас две переменные. Почему бы не построить эту зависимость на графике?
Строим и отмечаем значение наших \( \displaystyle x\), то есть точки, с координатами \( \displaystyle 1\), \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 3\)!
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
- Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | : (−4) x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Как переносить знаки при решении уравнений
Например: 7 (4 — х) + 3 (х — 5) = 9х.
- Раскрыть скобки: 28 — 7х + Зх — 15 = 9х
- Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть равенства, а числа — в правую часть равенства: -7х + Зх — 9x = -28 + 15.
- Вычислить неизвестное x.
- х = -13 : (-13)
- Привести подобные члены: -13x = -13.
- х = 1
Определив значение неизвестного, мы решили уравнение. Чтобы произвести проверку правильности решения уравнения, надо полученное значение неизвестного (буквы) подставить в условие (заданное уравнение) и решить числовое равенство.
Если числовое равенство обращается в тождество, то уравнение решено верно.
- 7 (4 — 1) + 3 (1 — 5) = 9 * 1
- 21 — 12 = 9
- 9 = 9
- 7 * 3 + 3 * (-4) = 9
Уравнение решено верно, так как в результате проверки получено тождество.
Линейные неравенства.
Исчерпывающий гид (2019)
Например: Все приведенные выше неравенства являются линейными.
Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.
Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы .
Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».
Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.
Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения. Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Для упрощения процесса нахождения всех
Линейные уравнения.
Полное руководство (2019)
Например: Мы видим, что справа стоит , что, по идее, уже говорит о том, что уравнение не линейное.
Мало того, если мы раскроем скобки, то получим еще два слагаемых, в которых будет , но не надо торопиться с выводами! Прежде, чем судить, является ли уравнение линейным, необходимо произвести все преобразования и таким образом, упростить исходный пример.
При этом преобразования могут изменять внешний вид, но никак не саму суть уравнения. Иными словами данные преобразования должны быть тождественными или равносильными. Таких преобразований всего два, но они играют очень, ОЧЕНЬ важную роль при решении задач.
Допустим, нам необходимо решить такое уравнение: Еще в начальной школе нам говорили: «с иксами – влево, без иксов – вправо». Какое выражение с иксом стоит справа?
Способы решения простых уравнений
Их используют при решении сложных.
1) 4+х=8 Отнимем от каждой части 4, т.е., 0+х=4 или х=4 2) х-5=2 Прибавим к обеим частям 5, получим х-5+5=2+5, х-0=7, х=7 3) х+1=х Надо такое число, складывая которое с 1, не изменится. Такого числа не существует, поэтому х не имеет корней 4) х+0=х Любое число, сложив с 0, не изменяется. Поэтому х является любым числом 5) 3-х=2 Вот это уже сложный пример.
И хотя можно логически догадаться, мы решим так, как доказывает шаровую логику.
Х под минусом. Поэтому тут немного сложнее.
Линейные уравнения. Решение линейных уравнений.
Правило переноса слагаемого.
Правило переноса слагаемого.
Примеры переноса слагаемого: 5x+2=7x−6.
Сначала переносим 5x из левой части уравнения в правую: 2=7x−6−5x. Далее переносим (−6) из правой части в левую: 2+6=7x−5x
Обратите внимание, что знак «+» изменился на «-», а знак «-» на «+»
При этом не имеет значения, переносимое слагаемое число или переменная, либо выражение. −3×2(2+7x)−4+y=0. Переносим 1-е слагаемое в правую сторону уравнения.
Получаем: −4+y=3×2(2+7x)
Обратите внимание, что в нашем примере слагаемое — это выражение (−3×2(2+7x)). Поэтому нельзя отдельно переносить (−3×2) и (2+7x), так как это составляющие слагаемого
Именно поэтому не переносят (−3×2⋅2) и (7x). Однако мы модем раскрыть скобки и получить 2 слагаемых: (−3x‑⋅2) и (−3×2⋅7x). Эти 2 слагаемых можно переносить отдельно друг от друга.
Таким же образом преобразовывают неравенства: 7x+25>14 Собираем каждое число с одной стороны. Получаем: 7x>14−25 или 7x>−11 Доказательство.
2-е части уравнения по определению одинаковы, поэтому можем вычитать из обеих частей уравнения одинаковые выражения, и равенство будет оставаться верным. Вычитать нужно выражение, которое в итоге нужно перенести в другую сторону.
Тогда по одну сторону знака «=» оно сократится с тем, что было. А по другую сторону равенства выражение, которое мы вычли, появится со знаком «-». Это правило зачастую используется для решения .
Для решения используются другие методы.
Правила нумерации формул
Формулы нумеруются арабскими цифрами, записанными в конце строки в круглых скобках.
Пример нумерации формул
Для высокой формулы номер размещают на уровне знака равенства и черты, разделяющей дробь.
Пример нумерации высокой формулы
В случае переноса формулы номер ставится на уровне окончания записи.
Пример нумерации при переносе формулы
Нумерацию, как правило, делают сквозной для всего документа, то есть (1), (2), (3) и т.д.
Пример сквозной нумерации
Также формулы могут нумероваться по разделам. В этом случае первая цифра — номер раздела, вторая — номер формулы.
Пример нумерации по разделам
В приложениях перед номером формулы добавляют букву, соответствующую приложению, а также точку. Например, в приложении Б шестая формула будет пронумерована как (Б.6).
Пример нумерации формулы в приложении
Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.
Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.
Пример для младшеньких.)
Допустим, надо решить вот такое уравнение:
3-2х=5-3х
Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!» Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х? Ответ неверный! Справа у нас -3х! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:
3-2х+3х=5
Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:
-2х+3х=5-3
Остались сущие пустяки. Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ:
х=2
В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)
Пример для старшеньких.)
lg2 = lg8 — lgx
Это логарифмическое уравнение. Ну и что? Первым шагом всё равно будет базовое тождественное преобразование. «С иксами — влево»…) Надо выражение с иксом (-lgx) перенести из правой части в левую. Со сменой знака:
lg2 + lgx = lg8
А выражение без икса (lg2) переносим вправо. Со сменой знака:
lgx = lg8 — lg2
Справа получилась готовая формула. Кто понимает логарифмы, тот уже запросто дорешает пример. В уме. Без переноса влево-вправо это было бы затруднительно…)
Эти два примера показывают универсальность первого тождественного преобразования. Нигде его не обойти. Стало быть, надо уметь легко и непринуждённо его делать.) Собственно, ошибиться здесь можно только в одном. Забыть сменить знак при переносе. Что и происходит сплошь и рядом. Внимательнее надо быть, да…)
Приступим ко второму тождественному преобразованию. С умножением-делением. Оно так же универсально и популярно, как и первое. Но простора для ошибок в нём побольше. Разберёмся, что к чему?)
Пример для младшеньких.)
Пусть нам надо решить вот такое суровое уравнение:
3х=12
Смотрим и соображаем: что нам не нравится в этом примере? Что нам мешает? Да тройка мешает! Нам в ответе всегда чистый икс нужен! Икс равен чему-то. А тройка мешает! Как можно от неё избавиться? Перенести вправо? Э-э-э нет! Тройка с иксом умножением связана. Нельзя её оторвать и вправо перенести. Вот всё выражение 3х можно переносить (только зачем?), а тройку отдельно — нельзя.
Самое время про умножение-деление вспомнить! Чтобы слева остался чистый икс, надо левую часть разделить на три. Это НАМ надо. Получим икс, чего и требовалось. Правую часть тоже придётся разделить на три. Это МАТЕМАТИКА требует. Что уж там получится, то и получится. Но пример хороший. Я старался.) 12 на 3 замечательно делится. Получится четыре. Ответ:
х = 4
Пример для старшеньких.)
Здесь без логарифмов обойдёмся. Решаем:
Вполне солидно, правда?) Кое-кто и запутается…. Понятно, что надо делить обе части на дробь 1/5. Именно она нам мешает. Это не очень в уме удобно… Можно поступить гораздо проще. Не делить обе части на 1/5, а умножить на 5. Слева всё равно чистый икс получится, а умножать на 5 — не самая трудная работа.)
Умножение обеих частей на нужное число, позволяет сразу избавляться от дробей, минуя промежуточные выкладки, в которых, между прочим, вполне можно и ошибок наляпать. Короче дорога – меньше ошибок!
Вот и всё.
Как видите, тождественные преобразования уравнений — штука не самая сложная. Перенос, да умножение-деление. Однако, не у всех они получаются… Почему? Есть две главные причины.
Причина первая (для начинающих):
Иногда человек думает, что упрощение примеров делается по одному, раз и навсегда установленному правилу. И никак не может понять это правило. В одном примере начинают с переноса… В другом с домножения… В третьем три раза домножают и ни разу не переносят… Тоскует человек от неопределённости.)
А правила никакого нет.
Есть разрешённые математикой преобразования (целых два!), которые мы применяем по своему усмотрению. В удобном нам порядке. Порядок зависит исключительно от исходного примера и личных привычек решающего.
Причина вторая (почти для всех…):
Ошибки в вычислениях. В преобразованиях постоянно приходится перемножать скобки… Заключать выражения в скобки и раскрывать их… Складывать и вычитать дроби… Умножать и делить дроби… Короче, в наличии весь набор элементарных вычислений. Дальше понятно…
Обе эти причины замечательно устраняются практикой. Исчезают сомнения и ошибки. Примеры становятся проще, задания — легче.)
Перенос деления в уравнении. Правило решений простых уравнений
Недавно звонит мама школьника, с которым я занимаюсь и просит объяснить математику ребёнку, т.к он не понимает, а она не него кричит и разговор с сыном не выходит.
У меня не математический склад ума, творческим людям это не свойственно, но я сказала, что посмотрю что они проходят и попробую. И вот что получилось
Я взяла лист бумаги формата А4, обычный белый, фломастеры, карандаш в руки и начала выделять, то что стоит понять, запомнить, обратить внимание
И чтобы было видно, куда эта цифра переходит и как меняется. Объяснение примеров с левой стороны, на правую сторону.
Пример уравнения для 4 класса со знаком плюс. Самым первым действием смотрим, что мы можем сделать в этом уравнении? Тут мы можем выполнить умножение.
Умножаем 80*7 получаем 560. Переписываем ещё раз.
Х + 320 = 560 (выделила цифры зеленым маркером). Х = 560 – 320. Минус ставим потому что при переносе числа, знак что перед ним меняется на противоположный.
Как решать дроби 7 класс
Дроби можно разделить на 2 основных вида:
- обыкновенные;
- десятичные.
Они различаются в способе написания (смотрите рисунок ниже). В свою очередь и те, и другие делятся еще на несколько видов.
Для начала рассмотрим решение примеров с десятичными дробями.
Особое внимание при решении стоит уделить запятым. При сложении и вычитании запятые стоят строго друг под другом, при умножении это не имеет значения
Особенности:
- при сложении и вычитании нужно привести дроби к общему знаменателю, найти дополнительные множители. Так, для чисел 6 и 4 общим знаменателем стало число 24. Дополнительные множители считали так: 24 : 6 = 4 (для первой дроби) и 24 : 4 = 6 (для второй). Потом умножили доп. множители на числители и полученные числа сложили. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть, при необходимости сокращаем дроби.
- при умножении пишем дроби под одной чертой, сокращаем.
- при делении нужно вторую дробь перевернуть, поставить знак умножения и сократить дроби.
