Модуль числа – определение, обозначение и примеры
Сначала введем обозначение модуля числа
. Модуль числа a
будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7
можно записать как ; модуль 4,125
записывается как , а модуль имеет запись вида .
Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .
Определение.
Модуль числа a
– это либо само число a
, если a
– положительное число, либо число −a
, противоположное числу a
, если a
– отрицательное число, либо 0
, если a=0
.
Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0
, , если a=0
, и , если a
Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a
больше или равно 0
), и , если a
Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0
. В этом случае имеем , но −0=0
, так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.
Приведем примеры нахождения модуля числа
с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15
и . Начнем с нахождения . Так как число 15
– положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как — отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .
В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака
, а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа
. Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.
Уравнения с модулем: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий
| Задания | Достаточные знания свойств | Формулы |
| $$\quad $$ $$x^2 — 5x — \left| {x — 6} \right| + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x — 6 \ge 0, \\ x^2 — 5x — \left( {x — 6} \right) + 9 = 0; \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x — 6 < 0, \\ x^2 — 5x + \left( {x — 6} \right) + 9 = 0. \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$ | Определение модуля числа $$ \left| a \right| $$ | $$\quad $$ $$\left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0, \\ — a,\quad a < 0. \\ \end{array} \right.$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x — 5} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x — 5 = 3 \\ x — 5 = — 3 \\ \end{array} \right.$$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = a,\quad \\ f(x) = — a,\quad \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x^2 — 4} \right| = 0 \Leftrightarrow x^2 — 4 = 0$$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0 \\ f(x) = 0 \\ \end{array} \right.$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x^2 — 4x} \right| = — 5 \Leftrightarrow x \in \emptyset $$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0, \\ x \in \emptyset . \\ \end{array} \right.$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x^2 — x — 2} \right| = x^2 — x — 2 \Leftrightarrow x^2 — x — 2 \ge 0$$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = f(x)$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = f(x) \Leftrightarrow f(x) \ge 0$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x^2 — 9} \right| = 9 — x^2 \Leftrightarrow 9 — x^2 \le 0$$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = — f(x)$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = — f(x) \Leftrightarrow f(x) \le 0$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x + 3} \right| = \left| {2x — 5} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 3 = 2x — 5 \\ x + 3 = 5 — 2x \\ \end{array} \right.$$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ f(x) = — g(x). \\ \end{array} \right.$$ |
| $$\quad $$ $$\left| {x^2 — 4} \right| = — \left| {x^2 — x — 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 — 4 = 0, \\ x^2 — x — 2. \\ \end{array} \right.$$ | Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = — \left| {g(x)} \right|$$ | $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = — \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ g(x) = 0. \\ \end{array} \right.$$ |
Пример. Решите уравнение $$x^2 — \left| x \right| — 2 = 0$$
Решение: Введем замену $$\left| x \right| = a,\quad a \ge 0$$, тогда $$x^2 = \left| x \right|^2 = a^2 \Rightarrow a^2 — a — 2 = 0 \Rightarrow a_1 = 2,\;a_2 = — 1$$ — корни уравнения. Вернемся к замене $$\left| x \right| = 2 \Rightarrow x_1 = 2,\;x_2 = — 2$$ и $$\left| x \right| = — 1 \Rightarrow x \in \emptyset $$
Ответ: $$x_1 = 2,\;x_2 = — 2 $$
Для решения используем последовательно знания следующих свойств:
- Метод решения уравнений: введение новой переменной.
- Свойство модуля : $$\left| a \right|^2 = a^2 $$
- Решение квадратного уравнения
- Определение модуля числа $$ \left| a \right| $$ : $$\left| a \right| = \left[ \begin{array}{l} a,\quad a \ge 0, \\ — a,\quad a < 0. \\ \end{array} \right.$$
- Свойство равносильности уравнений $$\left| {f(x)} \right| = a$$ : $$\quad $$ $$\left| {f(x)} \right| = a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0, \\ x \in \emptyset . \\ \end{array} \right.$$
Модуль числа
Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:
|9| = |– 9| = 9
|674| = |– 674| = 674
|2,536| = |– 2,536| = 2,536
Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:
Именно такое определение обычно и применяется в математике.
Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b
Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:
Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:
В частности, если n = 1, получим формулу:
Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:
Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:
В результате получилась «галочка».
Пример. Постройте график ф-ции у = |х2 – 4х + 3|
Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:
Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:
Решение уравнений с модулем
Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Рассмотрим первый случай , то есть (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид , его решение . Это решение удовлетворяет условию . Таким образом, — корень исходного уравнения.
Во втором случае , то есть . В этом случае уравнение преобразуется к виду , его решение . Этот корень не удовлетворяет условию , таким образом, не является корнем исходного уравнения.
Ответ. .
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Сначала найдем корни уравнения . Это . Следовательно, условие выполняется при и при , а условие — при . Рассмотрим два случая:
1) .
Исходное уравнение на этом множестве имеет вид .
Его корни . Из них только попадает под наш случай. Докажем это:
Так как , то , и, действительно, . Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):
Так как , последнее неравенство также выполняется, и корень — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств
следует, что является корнем уравнения.
2) .
В этом случае , и от исходного уравнения мы переходим к уравнению . Решения этого уравнения: и . Из них только число попадает на указанный промежуток:
корень — посторонний.
Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :
и
Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом , что намного проще.
Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — и . Числовая ось разбивается точками и на три промежутка, изображенных на рис. 12:
Рис. 12
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Этот корень попадает на промежуток и поэтому является решением исходного уравнения.
2) . Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Поскольку не попадает на рассматриваемый промежуток , то этот корень — посторонний.
3) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Этот корень принадлежит промежутку и является решением исходного уравнения.
Ответ. .
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .
1) В этом случае , и исходное уравнение преобразуется к виду . Решая это уравнение, получаем корни и .
2) При раскрываем внутренний модуль: . Получаем уравнение , которое решений не имеет.
Ответ. .
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: — это расстояние между точкой и точкой , — расстояние между точкой и точкой . Таким образом, — это сумма расстояний от точки до точек и . Поскольку расстояние между точками и равно , то любая точка , лежащая на числовой оси между точками и , удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка , удовлетворяющих условию, не существует, поскольку сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше .
Ответ. .
Задачи. Решите уравнения:
1. .
2. .
3. .
4. .
Примеры решений уравнений с модулем
Пример 1
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 2
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 3
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет
Ответ
Пример 4
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет
Ответ
Пример 5
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 6
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
– не подходит по условию
Ответ
Пример 7
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Отсюда
Второй случай:
Отсюда
Ответ
Пример 8
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
Решений нет
Второй случай:
Решений нет
Ответ
Решений нет
Пример 9
Задача
Решить уравнение:
Решение
Подмодульное выражение меняет знак в точке .
Рассмотрим два случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Пример 10
Задача
Решить уравнение:
Решение
Рассмотрим три случая.
Первый случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда – решений нет, т.к. по условию
Второй случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Третий случай:
При исходное уравнение принимает вид:
Отсюда
Ответ
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5
, если, А больше или равняется нулю.
5-А
, если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.
В этой статье мы детально разберем модуль числа
. Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.
Навигация по странице.
Функция модуля
До этого момента мы говорили о модуле, как о некотором свойстве, которым обладает число, о его беззнаковой «величине». На самом деле, это лишь один из подходов к определению модуля. Он хорош тем, что основные свойства модуля не берутся из ниоткуда, а логично (можно даже сказать, очевидным образом) вытекают из понятия о «величине» числа.
Более строгим подходом является определение модуля как функции. В этом случае модуль спускается с небес на землю и теряет свой статус «неотъемлемой части любого числа», но зато у нас появляется возможность использовать его в большом и наработанном аппарате математики (и математического анализа):
- Определить его функциональные свойства
- Решать уравнения и неравенства с ним
- Строить и изучать сложные функции с его участием
О
(функция) — кусочно-линейная функция, определенная на всей вещественной прямой R следующим образом:
∣x∣={−x,x≥−x,x<
Видим, что механизм получения значения полностью совпадает с модуля числа, которое я дал в начале статьи. Никакой разницы в значениях между этими определениями нет. Это означает, что все выведенные выше свойства модуля числа прекрасно сохраняются и для функции модуля.
График функции модуля элементарный. От −∞ до это будет убывающая под углом в −45 градусов прямая −x. От и далее это обычная прямая x.
Помимо рассмотренных ранее уникальных свойств модуля, можно также проанализировать его на предмет наличия общих свойств функций.
Т
Свойства модуля как функции
- Область определения: R
- Область значений: ,+∞)
- Функция четная
- Строго убывает на (−∞, и строго возрастает на ,+∞)
Доказательство
Любое вещественное число будет удовлетворять либо верхнему, либо нижнему неравенству из определения функции модуля. Другими словами, «величина» есть у любого числа. Поэтому область определения функции модуля равна R.
Для любых неотрицательных чисел функция модуля будет равна самим этим числам. Значит, любое положительное число входит в область значений функции модуля. В то же время, модуль всегда , поэтому отрицательных чисел в области значений не может быть. Значит, область значений равна ,+∞).
Доказанное ранее равенства модулей противоположных чисел и означает четность функции модуля по определению.
Наконец, функция −x монотонно убывает, а x монотонно возрастает на всей своей области определения. Поэтому функция модуля монотонно убывает на (−∞, и возрастает на ,+∞).
Все же, под модулем в литературе и других источниках информации чащее всего понимают именно функцию модуля.
C этого момента мы тоже будем придерживаться этой логики.
В дальнейших разделах вместо записей ∣x∣ и ∣y∣ я буду использовать записи ∣f∣ и ∣g∣, чтобы подчеркнуть, что под знаком модуля может быть как число, так и какая-нибудь функция.
Немного теории
Итак, поехали
Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$
Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.
Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.
Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:
\
Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным
. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.
Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:
Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.
Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:
График модуля и пример решения уравнения
Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)
Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:
Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)
Особенности техники
Модульное оригами, на западе известное как Golden venture, родом из Китая. Это – трудоёмкое искусство, когда из однотипных маленьких треугольников собираются трёхмерные модели, иногда достигающие гигантских размеров. У японцев модульное оригами состоит всего из нескольких элементов, которые могут заметно отличаться друг от друга. Самый яркий пример – ароматические шары кусудамы.
Китайское модульное оригами требует терпения и скрупулёзности. Некачественные детали или сборка, легко испортят результат многочасового труда. Модули сегодня можно купить в готовом виде, чтобы сразу перейти к творческому процессу. Начало всегда одинаковое – параллельно собираются два ряда. Последний модульный элемент замыкает цепочку, которая образует круг. Выглядит это следующим образом:
Тыльная сторона:
Если не замыкать цепочку, фигура останется плоской. Так делаются, например, крылья у птиц или простые модели-оригами: рыбки, бабочки, листья.
Однако объёмные фигуры намного интереснее. С цилиндрическими всё просто – постепенно круг за кругом нужно добавлять одно и то же число элементов, надевая «карманы» верхнего модуля на соседние выступы двух нижних (см. фото). А что делать со сферической или яйцевидной формой? Чтобы округлить любую модель, потребуется наращивать ряды до середины изделия и затем плавно сводить «на нет».
Добавляются модули двумя способами:
- Между уже существующими элементами вставляются дополнительные. На них затем будут надеваться треугольники следующего ряда. На фотографии дополнительные элементы обозначены зелёным цветом:
- На каждый выступ надевают по одному «кармашку», а второй остаётся свободным:
При любом варианте число модульных элементов в следующем ряду увеличивается вдвое. Чтобы затем сократить цепочку, делая куполообразное завершение фигуры, треугольники крепят по одному на три выступа.
Несложные приёмы позволяют создавать самые разнообразные оригами-фигурки из модулей. Например, как на этих фото:
Клубника
Простая и быстрая модель подойдёт для украшения открыток. Сборка здесь не требует особых навыков, поскольку фигурка плоская. Изменение очертаний достигается за счёт увеличения или уменьшения числа модульных элементов в цепочке.
Для этой схемы модульного оригами понадобится 40 треугольников из бумаги трёх цветов:
- 27 красных;
- 6 зелёных;
- 6 чёрных.
Пошаговая инструкция:
Сборка начинается с чашелистиков. Соединяем 3 зелёных модульных элемента на длинных сторонах. Далее наращиваем ещё 1 ряд. После чего переходим к ягоде. К последним двум зелёным элементам крепим столько же красных. В свободные крайние «карманчики» вставляем ещё две детали. Следующий ряд будет состоять из 2 красных модульных элементов и 1 чёрного.
Продолжаем наращивать ягоду аналогичным образом, следуя фото-инструкции.
| Ряд | Модули |
| 3 | 4 кр. + по 2 кр. по бокам |
| 4 | 5 кр., 2 чёр. + 2 кр. по бокам |
| 5 | 4 кр. |
| 6 | 2 чёр., 1 кр. |
| 7 | 1 чёр., 1 кр., 1 чёр. |
| 8 | 1 чёр. |
| 9 | 1 кр. |
Клубника готова. Остаётся добавить в боковые «карманы» чашелистиков симметрично ещё два зелёных треугольника.
Как убрать модуль в уравнении
Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:
Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.
Основные свойства модуля:
Некоторые методы решения уравнений с модулями
Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:
Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:
А для уравнений вида:
Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:
Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:
Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:
- Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
- Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
- Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.
- Назад
- Вперёд
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.
