Решение неравенств в математике: определение, примеры решения

Сколько и какие могут быть решения?

Если по условию несколько неравенств объединены в систему, то для выводов решается каждое отдельно. По результатам находится область их пересечения (множество решений может быть открытым бесконечным, либо ограниченным), или же «перекрытие» решений отсутствует. При упрощении выражений используются способы преобразований уравнений. Идеи преобразований неравенств в системе надо суметь догадаться «увидеть».

Система неравенств не имеет решений, в случае отсутствия таковых у одного из неравенств. Если у неравенства выполняется условие для любого значения аргумента, тогда решением системы является решение в других соседних неравенствах.

Существует несколько методов решения:

Геометрически, с построением точек в четырех квадрантах плоскости координат по их ординатам и абсциссам.
Для квадратного неравенства используют разложение на множители с найденными корнями и

определяют необходимые участки методом интервалов.

Иногда решают способом через оценку получившегося знака разности. Для этого выполняют вычитание частей неравенства и приводят доказательства требуемого знака (>, <, ≥, ≤).
Применяют общеизвестное доказательство методом «от противного» (истина, ложь). Предполагают противоположное требуемому изначально доказательству (хотя бы одни переменные делают его истинным). Если преобразования приведут к ложному неравенству, то сделанное предположение неверное, но верно изначальное.
Доказывают неравенства «синтетическим» методом, преобразуя известные неравенства (опорные) до требуемого.

Система неравенств с двумя неизвестными

Рассмотрим пример решения системы неравенств с двумя незнакомцами.

Покажите все точки графика, заданного системой неравенств

Постройте график функции, соответствующей данному неравенству.

Нарисуйте непрерывную функцию $ x^2+y^2 = $ 49. Это соответствует нестрогому неравенству, линия 3500x+y = $ 5 с пунктирными линиями.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство — $ x^2+y^2 \λ49$.

Найдите $(5; 8)$ на графике этой функции. Проверьте правильность неравенства.

$89≤49$ — неравенство неверно.

Поэтому решением данного неравенства является область, в которой выбранная точка не находится, то есть область круга.

Второе неравенство — 3500x+y>5$.

Получите $(4; 3)$ на графике этой функции. Проверьте правильность неравенства.

Поэтому решением этого неравенства является область, в которой находится выбранная точка, т.е. область над прямой.

Основные виды систем неравенств

Понятно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не заблудиться в этом многообразии, их целесообразно рассматривать по группам, имеющим свои отличительные признаки. Все системы неравенств можно разбить на группы по следующим критериям:

по числу неравенств в системе;
по числу переменных, участвующих в записи;
по виду самих неравенств.

По числу неравенств, входящих в запись, различают системы двух, трех, четырех и т.д. неравенств. В предыдущем пункте мы привели пример системы , которая является системой двух неравенств. Покажем еще пример системы четырех неравенств .

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в этом случае по сути речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если смотреть на число переменных, то имеют место системы неравенств с одной, двумя, тремя и т.д. переменными (или, как еще говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, записанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x, y и z

Обратите внимание, что ее два первых неравенства содержат не все три переменные, а лишь по одной из них. В контексте этой системы их стоит понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 соответственно

Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств , она взята из .

Решение систем неравенств первой степени

Ключевые слова: решение систем неравенств первой степени, двойные неравенства, примеры решения задач. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.4. Системы линейных неравенств.

Неравенства с одной переменной решают почти так же, как и уравнения. Значение переменной, при подстановке которой в неравенство получается верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство – это значит найти все его решения или показать, что их нет.

Решение неравенств первой степени было рассмотрено ранее. В данном конспекте — решение систем неравенств первой степени.

Когда требуется найти множество значений переменной, удовлетворяющих одновременно двум или нескольким неравенствам, говорят, что надо решить систему неравенств. Общий приём решения системы неравенств состоит в следующем: сначала решаем каждое неравенство отдельно, a затем находим множество их общих решений. При нахождении множества общих решений целесообразно пользоваться координатной прямой как опорным образом – это позволит во многих случаях избежать ошибок.

Примеры решения задач

Пример 1. Решим систему неравенств
Решив первое неравенство, получим, что х > –0,5, решив второе неравенство, получим, что х > –1. Изобразим на координатной прямой множество решений каждого неравенства.
Из рисунка видно, что общей частью этих двух лучей служит множество чисел, больших –0,5.

Ответ: (–0,5; +оо).

Пример 2. Найдём множество решений двойного неравенства –2 < 4 – 3х < 10.

Решить двойное неравенство –2 < 4 – 3х < 10 – это то же самое, что решить систему неравенств
Вы можете сделать это самостоятельно. Но можно вести запись решения и с помощью двойных неравенств:–2 < 4 – 3х < 10, –2 – 4 < –3х < 10 – 4,–6 < –3х < 6, 6 > 3х > –6,–6 < 3х < 6, –2 < х < 2.

Ответ: (–2; 2).

Пример 3. Решим задачу: «Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, a его периметр больше 44 см. Какую длину может иметь основание треугольника?»

Для решения составим по условию задачи систему неравенств, используя неравенство треугольника. Пусть длина основания треугольника равна х см. Тогда периметр треугольника равен (х + 26) см и в соответствии с условием х + 26 > 44.

Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Поэтому можно составить ещё два неравенства, которым должны удовлетворять искомые величины: х < 26; 13 < х + 13. Получаем систему неравенств:
Решив её, получим, что 18 < х < 26.

Ответ: (18; 26).

Это конспект по алгебре на тему «Решение неравенств первой степени». Выберите дальнейшие действия:

Перейти к следующему конспекту: Квадратные неравенства
Вернуться к списку конспектов по Математике.
Проверить знания по Математике.

Примеры решения неравенства с двумя переменными

Задача 1.

Найти решение системы неравенств с двумя переменными:

Решается система графическим способом, вначале преобразуются уравнения, определяются места пересечения осей координат.

2y=-x+2; х=-2; у=0; х=0; у=1;

y=x+1; x=0; y=1; x=-1; y=0;

y=-2

По двум точкам каждой линии строятся две прямые. Неравенства нестрогие. Устанавливая при каждой прямой линии направление области определения (1/2 плоскости), находится общая для них область:

внутри треугольника, включительно с его границами все многие точки плоскости координат. Проверка заданных отношений в точке (0;0): (-2<0, -1<0, 2>0)

Решая попарно уравнения прямых (пересечение), находятся три вершины треугольника С, В, А.

Для С – у=-2; х=6. Для В – х=0;у=1. Для А – у=-2; х=-3.

Задача 2.

Найти подходящий к системе неравенств участок координатной плоскости.

Решаем уравнение для каждого отношения. Первое выражение — окружность с точкой центра в начале координат, единичным r. Строится линия x^2 + у^ 2 = 1, с пересечением осей (1; 0),(-1;0). Она делит плоскость на круг и вне круга; выбирается нужная область внутри круга (наносится штриховка).

Второе уравнение – прямая линия y=-2x. Строится по точкам (1;2), (-1;-2). Она разделяет плоскость пополам, выбирается область ниже прямой (заштриховывается). Пробное место с координатами -1, 1 удовлетворяет второму отношению (-1≤0).

Неравенства в системе верны в области точек нижнего полукруга и линии контура.

Проверим подстановкой (-0.2;-0.2) 0.08<1, -0.4-0.2=-0.6<0. Условия выполнены.

Задача 3.

Определить общий участок для трех отношений:

Преобразуются исходные неравенства в уравнения, раскрываются скобки, вводятся множители, приводятся подобные слагаемые:

27(x-2)>0,

(x-5)(x-50)≥0,

x>14.

Отмечаются на числовой оси промежутки по результатам трех отношений.

После объединения для всех неравенств подходит «луч» из точки ≥50.

Ответ: [50;+∞)

Для помощи при решении квадратичных неравенств, используя равнозначно соответствующее уравнение ax2 + bx + c = у, с дискриминантом D = b2 − 4ac, предлагается табличный алгоритм нахождения участков переменных x в зависимости от знаков коэффициента a и D. Причем старший коэффициент а≠0. Необходимо находить корни при положительном D для разложения на множители, упрощения, использования метода интервалов.

Разложение левой части уравнения на множители

Если нельзя использовать ни метод подстановки, ни способ сложения, то могут помочь другие методы. Например, иногда в одном ур-нии справа можно оставить ноль, а слева – разложить многочлен на множители.

Пример. Решите систему:

Решение. В верхнем ур-нии можно выполнить следующие преобразования:

9х2 – у2 = 3х – у

(3х – у)(3х + у) = (3х – у)

(3х – у)(3х + у) – (3х – у) = 0

Можно заметить, что в левой части находится разность двух выражений, содержащих множитель (3х – у). Этот множитель можно вынести за скобки, при этом вместо второго выражения останется только единица, ведь его можно переписать как (3х – у)•1 (при умножении на единицу любое выр-ние остается неизменным):

(3х – у)(3х + у) – (3х – у)•1 = 0

(3х – у)(3х + у – 1) = 0

(а откуда -1?)

Вспомним, что произведение равно нулю, если один из его сомножителей нулевой. Поэтому

3х – у = 0 или 3х + у – 1 = 0

у = 3х или у = 1 – 3х

Получили два возможных варианта выражения для у. Будем подставлять их во второе ур-ние:

при у = 3х

х2 + у = ху

х2 + 3х = х•3х

– 2х2 + 3х = 0

х(– 2х + 3) = 0

х = 0 или – 2х + 3 = 0

х₁ = 0 или х₂ = 1,5

Найдем значение у, учитывая, что у = 3х:

у₁ = 3х₁ = 3•0 = 0

у₂ = 3х₂ = 3•1,5 = 4,5

Имеем решения (0; 0) и (1,5; 4,5). Далее рассмотрим второй случай, когда у = 1 – 3х:

х2 + у = ху

х2 + (1 – 3х) = х(1 – 3х)

х2 + 1 – 3х = х – 3х2

Перенося слагаемые влево, получаем квадратное ур-ние:

х2 + 1 – 3х – х + 3х2 = 0

4х2 – 4х + 1 = 0

D = b2– 4ас = (– 4)2 – 4•4•1 = 0

Получаем, что у квадратного ур-ния есть лишь один корень:

х₃ = – b/2а = 4/8 = 0,5

Найдем соответствующее ему значение у:

у₃ = 1 – 3х₃ = 1 – 3•0,5 = – 0,5

Получили третье решение: (0,5; – 0,5).

Ответ: (0; 0); (1,5; 4,5);(0,5; – 0,5).

Системы ур-ний часто используются при решении геометрических задач.

Пример. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см2. Известно, что один из его катетов больше другого на 5 см. Каков периметр треугольника?

Решение. Традиционно катеты обозначают буквами а и b. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = 0,5•ab

Отсюда следует ур-ние:

0,5ab = 150

Будем считать, что катет а больше, чем b. Тогда из условия можно записать

а = 5 + b

Итак, получается система:

Очевидно, что систему можно решить подстановкой а = 5 + b

0,5ab = 150

0,5(5 + b)b = 150

(5 + b)b = 300

b2 + 5b – 300 = 0

Решая это квадратное ур-ние, легко получить два значения b: 20 и (– 15). По смыслу задачи длина катета должна измеряться положительным числом, а потому b = 20. Второй катет на 5 см меньше, то есть он равен 20 – 5 = 15 см. Длину гипотенузы с можно найти по теореме Пифагора:

с2 = а2 + b2 = 202 + 152 = 625

c = 25

Периметр треугольника – это сумма его сторон, она равна 25 + 20 + 15 = 60 см.

Ответ: 60 см.

Как решить систему неравенств

Запомните!

Чтобы решить систему неравенств нужно:

решить отдельно каждое неравенство;
сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.

Вернемся к нашему примеру системы неравенств.

Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то
сразу переходим к поиску общего решения всей системы.

Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.

Важно!

Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.

Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число «» будет
находиться левее «».

После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные
на осях числа перпендикулярные прямые.

Запомните!

При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:

если точка не входит в область решения («пустая» точка), то рисуют
пунктирную линию;
если точка входит в область решения («заполненная» точка), то рисуют
сплошную линию.

Проведем прямые через числовые точки на осях.

Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам.
Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.

Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет
«». Запишем полученный ответ.

Ответ:

Рассмотрим другой пример системы неравенств.

Так как неравенства в системе снова представляют собой готовые ответы — сразу перейдем к поиску общего
решения системы неравенств.

Нарисуем числовые оси для каждого неравенства и отметим на них решения. Проведем
через каждое отмеченное число на осях прямую по , описанным выше.

Выберем те области решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

Как видно на рисунке выше, область решений, которая подходит для обоих неравенств, находится между числами
«» и «».

Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства.

Ответ:

Запомните!

Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.

Знаки сравнения («

Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.

Другие примеры решения систем неравенств

В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо
предварительно решить каждое из неравенств.

Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.

Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке
«Решение линейных неравенств». Затем найдем общий
ответ системы.

Системы неравенств с двумя переменными

Пусть надо решить систему неравенств с двумя переменными

Покажем графически решения для каждого отдельного нер-ва. Так как графиком ур-ния х2 + у2 = 9 является окружность радиусом 3, то решением первого нер-ва является круг:

Нер-во х – у > 0 является линейным. Его решением будет полуплоскость:

Теперь совместим два полученных решения. Решением системы нер-в будет пересечение заштрихованных областей. Ведь именно здесь оба нер-ва системы будут выполняться одновременно. Это пересечение представляет собой полукруг (он заштрихован квадратиками):

Пример. Постройте решение системы нер-в

Решение. Построим графики ур-ний х2 – у = 2 и у2 – х = 2. Первый из них будет являться параболой у = х2 – 2. Второй же будет выглядеть, как парабола, повернутая на 90°. Это будет функция х = у2 – 2:

В том, что мы выбрали правильную область на плоскости, можно убедиться, просто подставив одну из ее точек, в частности (0; 0), в систему:

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определить аналогично тому, как мы вводили определение системы уравнений , то есть, по виду записи и смыслу, вложенному в нее.

Определение.

Система неравенств
– это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2·x−3>0
и 5−x≥4·x−11
, запишем их одно под другим2·x−3>0
,5−x≥4·x−11

и объединим знаком системы – фигурной скобкой, в результате получим систему неравенств такого вида:

Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что в них определения даются более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными
.

Совокупности линейных неравенств

В случаях когда нужно найти объединение множеств решений неравенств это значит, что нужно решить совокупность неравенств. Совокупность неравенств обозначают с использованием квадратной скобки.

Итак, для решения неравенства задания 6 необходимо решить совокупность:

Задание 7. Решить неравенство (x+3)(x–5)2≤0.

Исходное неравенство будет равносильным совокупности неравенств:

Решение: (-∞; -3]U{5}.

Задание 8. Решить неравенство (x-a)2(x-7)≥0 при всех значениях a.

Рассмотрим совокупность, которая равносильна исходному неравенству:

В данном задании возможны два варианта в зависимости от того, справа или слева от числа 7 на координатной прямой будет находиться параметр a (рисунок 7):

a≥7, тогда множеством решений заданного неравенства будет числовой промежуток [7; +∞);
a<7, тогда множеством решений заданного неравенства будет объединение {a}U[7; +∞).

Рисунок 7 – Решение задания 8

Для удобства восприятия материала разместим данные в таблице.

Таблица – Обозначений и изображений числовых промежутков

Основные виды систем неравенств

по числу неравенств в системе;
по числу переменных, участвующих в записи;
по виду самих неравенств.

Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами
первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств , она взята из
.

Дробно-рациональные неравенства

До сих пор мы рассматривали целые нер-ва. Однако, по аналогии с уравнениями, существуют ещё и дробно-рациональные нер-ва. В них выражение с переменной может стоять в знаменателе. Приведем примеры дробно-рациональных нер-в:

Любое такое нер-во можно представить в виде

где Р(х) и Q(х) – некоторые многочлены. Естественно, вместо знака «>» может стоять и другой знак. Для примера преобразуем к такому виду нер-во

Перенесем все слагаемые влево:

Далее приведем левую часть к общему знаменателю:

Осталось раскрыть скобки:

В итоге и в числителе, и в знаменателе стоят многочлены.

Рассмотрим нер-ва

а/b>0 и ab> 0

Докажем, что они равносильны друг другу. Возможны 5 случаев:

И а, и b являются положительными числами. Тогда оба нер-ва верны, ведь и произведение, и отношение двух положительных чисел само положительно:

10•5 = 50 > 0

10/5 = 2 > 0

Оба числа, а и b, отрицательны, тогда снова оба нер-ва справедливы, ведь при умножении и делении двух отрицательных чисел получается положительное число. Например:

(– 10)•(– 5) = 50 > 0

(– 10)/(– 5) = 2 > 0

Только одно из чисел положительно, а другое отрицательно, тогда их произведение, как и частное, меньше нуля, и нер-ва неверны:

(– 10)•5 = – 50< 0

(– 10):5 = – 2 < 0

Число a равно нулю. Тогда выражения ab и a/b также равны нулю, а потому рассматриваемые нер-ва неверны:

0•5 = 0

0/5 = 0

Число b равно нулю. Тогда произведение ab равно нулю, а дробь а/b не имеет смысла (из-за нуля в знаменателе). То есть нер-ва а/b> 0 и ab> 0 снова одновременно неверны.

Получили, что при любых значениях а и b нер-ва а/b> 0 и ab> 0 либо одновременно справедливы, либо одновременно несправедливы. Это значит, что они равносильны.

Это значит, что от дробно-рационального нер-ва можно перейти к равносильному ему целому нер-ву.

Пример. Решите нер-во

Решение:

Исходному нер-ву равносильно иное нер-во:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4)> 0

Решим его методом интервалов:

Получаем, что х∊(1; 2)∪(3; 4).

Ответ: (1; 2)∪(3; 4).

Пример. Решите нер-во

Решение. В числителе и знаменателе находятся квадратные трехчлены. Их можно разложить на корни, если знать их корни. Найдем их.

х2 – 9х + 14 = 0

D = b2– 4ас = (– 9)2 – 4•1•14 = 84 – 56 = 25

х₁ = (9 – 5)/2 = 2

х₂ = (9 + 5)/2 = 7

Так как корни равны 2 и 7, то можно записать, что

х2 – 9х + 14 = (х – 2)(х – 7)

Аналогично разложим знаменатель

х2 – 14х + 45 = 0

D = b2– 4ас = (– 14)2 – 4•1•45 = 196 – 180 = 16

х₁ = (14 – 4)/2 = 5

х₂ = (14 + 4)/2 = 9

х2 – 14х + 45 = (х – 5)(х – 9)

Перепишем исходное нер-во:

Ему равносильно другое нер-во:

(х – 2)(х – 7)(х – 5)(х – 9) > 0

Его можно решить методом интервалов:

Получаем, что х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Ответ: х∊(– ∞; 2)∪(5; 7)∪(9; + ∞).

Обратим внимание на одну особенность метода интервала в случаях, когда решается дробно-рациональное нер-во. Она касается нестрогих нер-в (со знаками «≤» и «≥»)

В целых нестрогих нер-вах сами точки, при которых выражение слева обращается в ноль, включаются в решение

Но при рассмотрении дроби важно понимать, что ее знаменатель не может быть равным нулю. Поэтому при нестрогом нер-ве в ответ надо включить точки, обращающие в ноль числитель, но при этом исключить точки, обращающие в ноль знаменатель

Пример. Решите нер-во

Числитель обращается в ноль в точках (– 2) и 4, а знаменатель – в точках (– 7) и 8. Так как нер-во нестрогое, то числа 4 и (– 2) будут входить в решение (на координатной прямой мы отметим их закрашенным кружочком), а числа (– 7) и 8 – нет (их отметим как «выколотые точки»):

В итоге получаем, что дробь неотрицательна при х∊(– ∞; – 7)∪∪(8; – ∞).

Ответ: (– ∞; – 7)∪∪(8; – ∞).

Как записать общее решение?

Сообразно четкой математической формулировке, отображению решения используются дополнительные условные символы. При вычислении результатов объединенных неравенств ищется пересечение решений, когда их нет, то ответом является пустое множество x:

Если встречается «пустое» неравенство, то результат находится хотя бы из одного уравнения системы.

Итог будет:

Если отношение строгое, тогда отрезок решения считается открытым, со скобками ( ), без включения на отрезки пограничных точек. Если – нестрогое, то решение будет закрытым отрезком, включающим граничные точки.

Х>2\3,

Х≤0,6.

Результат:

Применение знака ;– объединение двух множеств решений. Если неравенство второе нестрогое, тогда отрезок справа закрыт.

Ответ:

Если из всего целого интервала исключают точку 5, то возможно оформление со знаком \:

Откроется еще много новых понятий, определений, знаковых обозначений благодаря осознанному изучению математических наук.

Неравенство с двумя неизвестными

Пусть имеется неравенство с двумя неизвестными вида $y $, $\le$, $\ge$).

Множество решений подобного неравенства можно изобразить на координатной плоскости. Для этого необходимо:

Построить график функции y=f(x), который разобьет координатную плоскость на две разные области.
Выбрать одну из этих областей и рассмотреть в ней любую точку. Проверить, выполняется ли для этой точки исходное неравенство:
- Если неравенство выполняется, следовательно, оно выполняется и для всей области, из которой выбирали точку. Таким образом, область, в которой лежит выбранная точка и есть множеством решений неравенства.
- Если неравенство не выполняется, то множество решений неравенства – область, в которой не лежит выбранная точка.
При решении строгих неравенств границы области, которыми являются точки графика функции $y=f(x)$, не включаются в множество решений, при этом граница изображается пунктирной линией. При нестрогих неравенствах границы области включаются в множество решений неравенства, при этом граница изображается сплошной линией.

Пример 1

Показать на графике множество точек, которое задается неравенством $xy>3$.

Решение.

Построим график функции $xy=3$. Для этого разделим обе части уравнения на $х$, т.к. оно не может обращаться в нуль, что следует из уравнения (произведение числа на нуль не может равняться $3$):

$y=\frac{3}{x}$.

График получившейся функции – гипербола, которая разобьет координатную плоскость на 2 области: одна находится между ветвями гиперболы, а другая – за ними.
Выберем из одной области любую точку, например, с координатами $(1; 2)$.

Подставим ее координаты в неравенство:

$xy>3$;

$1 \cdot 2 > 3$;

$2>3$ – неравенство неверное.

Следовательно, точки выбранной области не являются решением данного неравенства. Таким образом, решением неравенства будет другая область, из которой точку не выбирали.
Данное неравенство строгое, поэтому граничные точки, которыми являются точки графика функции y=3/x, наносятся на график пунктирной линией. Обозначим на графике множество точек, которые являются решением данного неравенства:

Виды неравенств

Выделяют два вида неравенств: числовые и с неизвестной переменной. Первый тип представляет собой предоставленные величины (цифры), неравные друг другу, например, 8 > 10. Второй — это неравенства, содержащие в себе неизвестную переменную (обозначается какой-либо буквой латинского алфавита, чаще всего X). Данная переменная требует своего нахождения. В зависимости от того, сколько их, в математической модели различают неравенства с одной (составляют систему неравенств с одной переменной) или несколькими переменными (составляют систему неравенств с несколькими переменными).

Два последних вида по степени своего построения и уровню сложности решения делятся на простые и сложные. Простые называют ещё линейными неравенствами. Они, в свою очередь, подразделяются на строгие и нестрогие. Строгие конкретно «говорят», что одна величина обязательно должна быть либо меньше, либо больше, поэтому это в чистом виде неравенство. Можно привести несколько примеров: 8 x + 9 > 2, 100 — 3 x > 5 и т. д. Нестрогие включают в себя ещё и равенство. То есть одна величина может быть больше или равна другой величине (знак «≥») либо меньше или равна другой величине (знак «≤»). Ещё в линейных неравенствах переменная не стоит в корне, квадрате, не делится на что-либо, из-за чего они называются «простыми». Сложные включают в себя неизвестные переменные, нахождение которых требует выполнения большего количества математических операций. Они часто находятся в квадрате, кубе или под корнем, могут быть модульными, логарифмическими, дробными и пр. Но поскольку нашей задачей становится необходимость разобраться в решении систем неравенств, то мы поговорим о системе линейных неравенств. Однако перед этим следует сказать пару слов об их свойствах.

Алгебра

46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Неравенство у > 0,5х + 2 при х = 6, у = 10 обращается в верное неравенство 10 > 0,5 • 6 + 2. Говорят, что пара значений переменных х = 6, у = 10 является решением этого неравенства.

Определение: Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.

Нетрудно проверить, что решениями неравенства у > 0,5х + 2 являются также пары x = 0, у = 5; х = -8, у = -1. Каждое решение неравенства у > 0,5x + 2 можно изобразить точкой на координатной плоскости.

Выясним, какое множество точек задаёт на координатной плоскости рассматриваемое неравенство.

Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению у = 0,5х + 2, представляет собой прямую (рис. 82). Если точка плоскости лежит выше, чем точка этой прямой, находящаяся с ней на одной вертикали (см. рис. 82), то её ордината больше ординаты соответствующей точки прямой и потому координаты этой точки удовлетворяют неравенству у > 0,5х + 2.

Рис. 82

Вообще координаты любой точки полуплоскости, расположенной выше прямой у = 0,5л: + 2, удовлетворяют неравенству у > 0,5x + 2, а координаты других точек плоскости этому неравенству не удовлетворяют.

Таким образом, неравенство у > 0,5x + 2 задаёт полуплоскость, расположенную выше прямой у = 0,5x + 2. На рисунке 82 эта полуплоскость показана цветом. Граничная прямая, не принадлежащая этой полуплоскости, проведена пунктиром.

Пример 1. Покажем в координатной плоскости множество точек, которое задаёт неравенство х ≥ 4.

Решение: Проведём прямую х = 4 (рис. 83). Абсцисса любой точки, принадлежащей этой прямой или рас пол олсон ной правее её, равна 4 или больше 4. Значит, неравенство х ≥ 4 задаёт на координатной плоскости прямую х = 4 и полуплоскость, расположенную правее прямой х = 4. Эта полуплоскость показана на рисунке цветом. Граничная прямая принадлежит этой полуплоскости.

Рис. 83

Пример 2. Выясним, какое множество точек задаёт на координатной плоскости система неравенств

Решение: Построим в координатной плоскости прямые, являющиеся графиками уравнений

у = 0,4x — 2 и у = 0,4x + 3.

Так как угловые коэффициенты прямых равны, то эти прямые параллельны.

Первое нестрогое неравенство задаёт прямую у = 0,4x — 2 и полуплоскость, расположенную выше этой прямой, а второе — прямую у = 0,4x + 3 и полуплоскость, расположенную ниже этой прямой. Рассматриваемая система неравенств задаёт общую часть этих множеств.

Эта общая часть представляет собой полосу, ограниченную прямыми у = 0,4x — 2 и у = 0,4x + 3 (рис. 84).

Рис. 43

Упражнения

Постройте прямую y = x . Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству:
Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, которое задаёт неравенство:
Изобразите множество точек, которое задаёт на координатной плоскости неравенство:
Задайте неравенством полуплоскость, расположенную выше прямой:
Является ли пара чисел x = -3, у = 4 решением системы неравенств:
Изобразите на координатной плоскости множество точек, которое задаёт система неравенств:
Какую фигуру на координатной плоскости задаёт система неравенств:
Изобразите на координатной плоскости фигуру, которую задаёт система неравенств

и найдите её площадь.
Укажите какие-либо значения k и b, при которых система неравенств

задаёт на координатной плоскости: а) полосу; б) угол.

Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной

Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

Но дело в том, что неравенства x > 4 и x < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями как им захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.

Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.

Значит решениями системы являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( 4 ; 9 )

Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.

Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:

Сначала указывают границы обоих неравенств:

На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x < 9

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:

Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему . Возьмем, например, число 6

Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8

Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.

Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:

Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.

Пример 2. Решить систему неравенств

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.

Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.

Изобразим множество решений системы на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:

На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17

На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( 17 ; +∞ )

Пример 3. Решить систему неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы