Логарифм и его свойства. как решать логарифмы

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто, когда мы решаем какое-либо число, мы хотим выразить его в виде логарифма по определенному основанию. В этом случае нам помогает тип: число n.

В первом случае число n является экспонентой степени аргумента. Число n может быть абсолютно произвольным, просто потому, что это логарифмическая цена.

Второй мужчина — это фактически перефразированное определение. Она называется :.

В самом деле, что произойдет, если вы увеличите B на силу так, что эта сила B придаст A силу A? Правильно: вы получите именно это число. Еще раз внимательно прочитайте этот абзац — многие люди придерживаются его.

Как и при любом переходе на новую основу, базовый логарифмический идентификатор может быть единственно возможным решением.

Обратите внимание на журнал.25 64 = журнал5 Просто удалите квадрат из основания 8-лога и аргумента. Принимая во внимание правила распространения силы с тем же основанием, мы имеем

Подпись.

Если кто-то не знает, это было настоящей проблемой из-за использования:)

Формула логарифма произведения

Теорема 2

Формула логарифма произведения распространяется не только на произведение двух чисел, но и на произведение конечного количества чисел:

$\log_{a}⁡(x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n )=\log_{a}x_1+\log_{a}x_2+ \cdots +\log_{a}x_n$

при $a, x_1, x_2, \cdots, x_n > 0$ , $a \ne 1$.

Пример 2

$\lg⁡(12\sqrt{3} y)=\lg⁡12+\lg\sqrt{3}+\lg⁡y$.

Замечание 1

Логарифм произведения применяется в тех случаях, когда необходимо упростить выражение или выражение данного логарифма через другой необходимо для его вычисления при известном значении другого логарифма.

Пример 3

Вычислить $\log_{13}⁡2197$.

Решение.

Применим свойство логарифма произведения:

$\log_{13}⁡2197=\log_{13}⁡(13 \cdot 13 \cdot 13)=\log_{13}⁡13+\log_{13}⁡13+\log_{13}⁡13=3 \log_{13}13=3 \cdot 1=3$.

Ответ: $\log_{13}⁡2197=3$.

Данный пример демонстрирует применение формулы логарифма числа, которое раскладывается на три множителя.

Пример 4

Вычислить $\log_{7}49 \sqrt{49}$.

Решение.

Применим теорему о логарифме произведения:

$\log_{7}49 \sqrt{49}=\log_{7}⁡49+\log_{7} \sqrt{49}=$

подлогарифмические выражения обоих логарифмов запишем как основание логарифма в степени, а затем применим формулу логарифма степени:

$=\log_{7}7^2+\log_{7}7^{\frac{2}{3}}=$

показатели степени вынесем из-под знака логарифма и запишем перед ним:

$=2 \log_{7}⁡7+\frac{2}{3} log_{7}⁡7=2+\frac{2}{3}=2 \frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{7}49 \sqrt{49}=2 \frac{2}{3}$.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь давайте немного усложним ситуацию. Что произойдет, если основание или аргумент логарифма имеет класс? Затем эту степень экспоненты можно получить над логарифмом, используя следующие правила.

Вы видите, что последнее правило вытекает из первых двух. Однако лучше помнить, что — в некоторых случаях — это значительно уменьшает сумму расчета.

Конечно, все эти правила имеют смысл, если логарифм выполняется: a> 0, a≠1, x> 0., число можно поставить перед знаком логарифма. Это требуется чаще всего.

Удалите оценку аргумента в первом типе: log₇ 49 6 = 6-лог.₇ 49 = 6-2 = 12

Обратите внимание, что знаменатель — логарифм, основание и аргумент которого — точные силы: 16 = 2 4? 49 = 7 2. Тогда имеем:

Подпись.

Я думаю, что последний пример нуждается в пояснении. Куда исчезли рогальцы? До последней минуты работайте только со знаменателем. Представьте логарифмическую основу и аргумент в терминах мощности и уберите объясняющего — в «трех историях» всего несколько дробей.

Далее рассмотрите основные дроби. Числитель и знаменатель — одно и то же число₂ 7. с журнала.₂ 7≠0, фракция может быть уменьшена до точки бифуркации. Он остается в знаменателе. Согласно правилам арифметики, четыре можно перенести в числитель, что и было сделано. Результат — ответ: 2.

Переход к новому основанию

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию $e$. Обозначение — $ln(x)$. Что такое $e$? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, $2,718281828459…$. Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием $e$ часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма $log_{a}(b)$ существует только при положительных значениях основания $a$ и аргумента $b$. И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно $1$.

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть $0$. А основание не равно $1$, потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь $1$ в любой степени это будет $1$.

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
Разобраться в какую степень $x$ нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
$x$ и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм $9$ по основанию $3$: $log_{3}(9)$

Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, \qquad 9=3^2;$$
Теперь надо разобраться в какую степень $x$ нужно возвести $3^1$, чтобы получить $3^2$
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$
Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм $\frac{1}{125}$ по основанию $5$: $log_{5}(\frac{1}{125})$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, \qquad \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
В какую степень $x$ надо возвести $5^1$, чтобы получить $5^{-3}$:
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$
Получили ответ:
$$ log_{5}(\frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм $4$ по основанию $64$: $log_{64}(4)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, \qquad 4=2^2;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^6$, чтобы получить $2^{2}$:
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$
Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=\frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм $1$ по основанию $8$: $log_{8}(1)$

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 \qquad 1=2^0;$$
В какую степень $x$ надо возвести $2^3$, чтобы получить $2^{0}$:
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=\frac{0}{3}=0.$$
Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм $15$ по основанию $5$: $log_{5}(15)$

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 \qquad 15= ???;$$
$15$ в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число $a$ не будет являться степенью другого числа $b$. Это довольно просто – нужно разложить $a$ на простые множители.

$16$ разложили, как произведение четырех двоек, значит $16$ будет степенью двойки.

Разложив $48$ на простые множители, видно, что у нас есть два множителя $2$ и $3$, значит $48$ не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

log a a = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
log a 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Вытекают из его определения. И так логарифм числа b
по основанию а
определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a
, чтобы получить число b
(логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b
, равнозначно решению уравнения a x =b.
Например, log 2 8 = 3
потому, что 8 = 2 3
. Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с
, то логарифм числа b
по основанию a
равен с
. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .

С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения , вычитания
и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы — это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами
.