Что такое логарифм

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в быту мы встречаем гораздо больше логарифмов, чем кажется. Вот несколько примеров.

Децибелы, в которых измеряется относительная громкость любых звуков, считаются по десятичному логарифму. Относительная — потому что она считается от минимального порога громкости, которую только может расслышать человек. Например, если громкость звука равна 20 децибел, то это значит, что это громче самого тихого в 100 раз, а если 30 децибел — то в 1000 раз.

В химии активность водородных ионов тоже считается по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже меняются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определённое число раз.

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе этого уравнения — логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Возведение в степень и логарифм

Возведение в степень представляет собой операцию повторяющегося умножения числа на само себя. Если нам требуется умножить тройку на себя 7 раз, то мы записываем это как 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3. Компактная запись такого выражения выглядит как 37 — это и есть возведение в степень.

Деление — операция, обратная умножению. Если верно выражение A × B = C, то и выражение A = C / B так же верно. Такая взаимосвязь часто используется при решении линейных уравнений вида Ax + B = 0, где мы легко можем выразить неизвестное при помощи операции деления. Но что делать, если уравнение не линейное, а показательное? Например, как решить уравнение вида Ax = B. Икс — показатель степени и он нам неизвестен. Возникает задача, в какую степень требуется возвести A, чтобы получить B?

Для наглядности попробуем решить не абстрактный буквенный пример Ax = B, а числовой. Пусть есть элементарное показательное уравнение 2x = 4. В какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 4? Очевидно, что во вторую. Более сложное уравнение 3x = 243. Для решения такого уравнения можно постепенно умножать тройку на саму себя, пока не получим число 243. Легко подсчитать, что 3 × 3 × 3 = 27, но этого мало. Умножим еще на 3 и получим 81. Умножив еще раз мы получим искомое 243. Мы умножили 3 на себя 5 раз, следовательно, x = 5.

Ну а что делать с уравнением 2x = 5? Небольшое изменение, и элементарное уравнение превращается в практически не разрешимое вручную. Очевидно, что ответ больше 2 и меньше 3, но его точное значение мы можем узнать лишь с заданной точностью. Вот тут нам и пригодятся логарифмы. Для решения уравнения следует записать x = log2 5. Все, это и есть ответ, которого достаточно любому математику.

Понятие натурального логарифма

Таким образом, логарифм log A B – это число, в которое требуется возвести A, чтобы получить B. Число A в данном случае называется основанием, которое может быть любым, однако на практике чаще всего встречаются логарифмы с основанием 10 и e. Первые соответственно называются десятичными, а вторые — натуральными. Несмотря на название, натуральный логарифм — техническая функция.

Экспонента (число е) — иррациональное число, приблизительно равное 2,718281828. Экспонента представляет собой базовое соотношение роста для любых растущих процессов. Число e – это предельная константа, ограничивающая процессы роста так же, как скорость света ограничивает передвижение объектов в пространстве. Именно операции с экспонентой дают возможность определить темпы роста в таких ситуациях, как вычисление прироста населения, процентов по банковскому депозиту или объема полураспада радиоактивного вещества. Так как любой процесс можно описать при помощи математических формул, любой рост можно выразить упрощенной формулой вида:

Рост = ex

Например, если мы положили $100 на банковский депозит поl 9% годовых сроком на 3 года, то прибыль будет рассчитываться как:

Конечный результат: 100e(0,09 × 3) = $130.

Это простая операция возведения числа е в степень. Если же нам требуется обратная операция, то на помощь придет натуральный логарифм. Рассмотрим пример с банковским депозитом.

Как считать логарифмы в Python

Чтобы работать с логарифмическими выражениями в Python, необходимо импортировать модуль math:

И теперь посчитаем log₂ 8, используя метод math.log (b, a):

Обратите внимание на два момента. Во-первых, мы сначала передаём функции аргумент и только потом — основание

Во-вторых, функция всегда возвращает тип данных float, даже если результат целочисленный.

Если мы не передаём функции основание, то логарифм по умолчанию считается натуральным:

Для подсчёта десятичного и двоичного логарифма есть отдельные методы:

Ещё в Python есть специфичный метод, который прибавляет к аргументу единицу и считает натуральный логарифм от получившегося числа:

Когда х близок к нулю, этот метод даёт более точные результаты, чем math.log (1+x). Сравните:

Это все основные инструменты для работы с логарифмами в Python.

Ввод функций:

Функции вводятся с использованием маленьких латинских букв: sin ; cos ; tan ; log

ВНИМАНИЕ! Аргумент функции всегда берется в скобки () , например: sin( 4 ) ; cos( x ) ; log( 4 + y ). Запись типа: sin 4 ; cos x ; log 4 + y – недопустима

Правильная запись: sin( 4 ) ; cos( x ) ; log( 4 + y ) . Если необходимо возвести функцию в степень, например: синус x и все это в квадрате, это записывается вот так: (sin( x )) ^ 2 . Если необходимо возвести в квадрат аргумент, а не функцию (т.е синус от x ^ 2 ), тогда это выглядит вот так: sin( x ^ 2) . Запись типа: sin ^ 2 x – недопустима .

Источник статьи: http://mathforyou.net/online/input/simple/

Вычисление логарифма равносильно решению показательного уравнения

Показательное уравнение:

ax = b,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — показатель степени, a — основа степени, b — степень числа a.

Логарифмическое уравнение:

log_a b = x,

при условии a > 0, a ≠ 1; b > 0, где

x — логарифм числа b с основой a, a — основа логарифма, b — число, которое стоит под знаком логарифма.

Примеры:

25 = 32 ⇔ 5 = log2 32>;

34 = 81 ⇔ 4 = log3 81>;

log1/5 125 = -3 ⇔ (1/5)-3 = 125>;

log2 116 = -4 ⇔ 2-4 = 116.

Пример 1

Найти логарифм: log ₄ 8

Обозначим log₄ 8 через x:

log₄ 8 = x

Перейдем к показательному уравнению:

4x = 8

Сведем показательное уравнение к основе 2 и решим его:

22x = 23

2x = 3

x = 32

Ответ:

log4 8 = 3 2

Пример 2

Найти x если : log_x 125 = 32

За определением логарифма имеем:

x3/2 = 125

Возведем обе части в степень 23, и воспользуемся свойствами степеней:

(x3/2)2/3 = 1252/3

x = (53)2/3 = 53·2/3 = 52 = 25

Ответ:

x = 25

Формулировки и доказательства свойств

Переходим к формулированию и доказательству записанных свойств логарифмов. Все свойства логарифмов доказываются на основе определения логарифма и вытекающего из него основного логарифмического тождества, а также свойств степени.

Начнем со свойства логарифма единицы. Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log_a1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log_a1=0 сразу следует из определения логарифма.

Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log₃1=0 , lg1=0 и

Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице, то есть, log_aa=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log_aa=1 .

Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log₅5=1 , log_5,65,6 и lne=1 .

Логарифм степени числа, равного основанию логарифма, равен показателю степени. Этому свойству логарифма отвечает формула вида log_aa p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Заметим, что оно позволяет сразу указать значение логарифма, если есть возможность представить число под знаком логарифма в виде степени основания, подробнее об этом мы поговорим в статье вычисление логарифмов.

К примеру, log₂2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и

Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log_a(x·y)=log_ax+log_ay , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log_ax+log_ay =a log_ax ·a log_ay , а так как по основному логарифмическому тождеству a log_ax =x и a log_ay =y , то a log_ax ·a log_ay =x·y . Таким образом, a log_ax+log_ay =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.

Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log₅(2·3)=log₅2+log₅3 и

Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x₁, x₂, …, x_n как log_a(x₁·x₂·…·x_n)= log_ax₁+log_ax₂+…+log_ax_n. Данное равенство без проблем доказывается методом математической индукции.

Например, натуральных логарифм произведения

Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида

Приведем пример использования этого свойства логарифма:

Переходим к свойству логарифма степени. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log_ab p =p·log_a|b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .

Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log_ab , тогда b p =(a log_ab ) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log_ab . Так мы приходим к равенству b p =a p·log_ab , из которого по определению логарифма заключаем, что log_ab p =p·log_ab .

Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log_ab p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log_a|b| ) p =a p·log_a|b| , откуда log_ab p =p·log_a|b| .

Например,

Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть,

Доказательство базируется на равенстве

Вот пример использования этого свойства:

Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида

_{cacaccacaaccac}

Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов:

Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида

_ab

Также часто используется формула

Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.

Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a₁>1 , a₂>1 и a₁2 и при 0 выполняется log_a1b≥log_a2b , а при b>1 справедливо log_a1b≤log_a2b . По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как

_{b1b2b1b2b1b2b1b2121}

Таблица формул, связанных с логарифмами

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица.
Данный метод применим к выражениям вида log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}
. Однако он не годится для некоторых особых случаев:

Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, log ⁡ (− 3) {\displaystyle \log(-3)}
или log 4 ⁡ (− 5) {\displaystyle \log _{4}(-5)}
). В этом случае напишите «нет решения».
Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался ln ⁡ (0) {\displaystyle \ln(0)}
, запишите «нет решения».
Логарифм единицы по любому основанию ( log ⁡ (1) {\displaystyle \log(1)}
) всегда равен нулю, поскольку x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1}
для всех значений x
. Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
Если логарифмы имеют разные основания, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) {\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}}
, и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.

Преобразуйте выражение в один логарифм.
Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)}
.

Пример 1: рассмотрим выражение log ⁡ 16 log ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}}
.Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)}
.
Эта формула «замены основания» логарифма выводится из основных свойств логарифмов.

При возможности вычислите значение выражения вручную.
Чтобы найти log a ⁡ (x) {\displaystyle \log _{a}(x)}
, представьте себе выражение » a ? = x {\displaystyle a^{?}=x}
«, то есть задайтесь следующим вопросом: «В какую степень необходимо возвести a
, чтобы получить x
?». Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.

Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16}
. Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака «?». Это можно сделать методом проб и ошибок: 2 2 = 2 ∗ 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=2*2=4}
2 3 = 4 ∗ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=4*2=8}
2 4 = 8 ∗ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=8*2=16}
Итак, искомым числом является 4: log 2 ⁡ (16) {\displaystyle \log _{2}(16)}
= 4
.

Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его.
Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:

пример 2: чему равно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}}
?
Преобразуем данное выражение в один логарифм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)}

Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание 3 исчезает; это справедливо для любого основания.
Перепишем выражение в виде 7 ? = 58 {\displaystyle 7^{?}=58}
и попробуем найти значение?: 7 2 = 7 ∗ 7 = 49 {\displaystyle 7^{2}=7*7=49}
7 3 = 49 ∗ 7 = 343 {\displaystyle 7^{3}=49*7=343}
Поскольку 58 находится между этими двумя числами, не выражается целым числом.
Оставляем ответ в логарифмическом виде: log 7 ⁡ (58) {\displaystyle \log _{7}(58)}
.

Логарифм с основанием a

— это функция y(x) = log
a x
,
обратная к показательной функции с основанием a: x(y)
= a y
.

Десятичный логарифм
— это логарифм по основанию числа 10

:
lg
x ≡ log 10
x
.

Натуральный логарифм
— это логарифм по основанию числа e
:
ln
x ≡ log
e x
.

2,718281828459045…

;
.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x
.
Слева изображены графики функции y(x)
= log a x
для четырех значений основания логарифма
: a = 2

,
a = 8

,
a = 1/2

и a = 1/8

.
На графике видно, что при a > 1

логарифм монотонно возрастает. С увеличением x
рост существенно замедляется. При 0
логарифм монотонно убывает.

Что такое натуральный логарифм

Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.

Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.

На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.

Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что log_e x.

Что такое e

Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.

Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.

Каждый новый отросток сразу начинает выращивать свой собственный, и скорость роста кристалла увеличивается вместе с его массой

Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.

Зачем нужны натуральные логарифмы

Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.

e3 ≈ 20,0855 кг

e5 ≈ 148,4132 кг

e10 ≈ 22 026,4658 кг

Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:

ex = 1000

Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = log_e 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000.

Вычисление необходимой ставки

В примере выше мы вычислили прибыль, но что делать, если вы инвестор и хотите получить от вклада заданный доход? Пусть у вас есть $1 000 и вы хотите, чтобы через год на банковском депозите было уже $1 500. Какую процентную ставку должен предлагать банк для осуществления этого инвестиционного плана? Составим уравнение:

• 1000ex = 1500
• ex = 1,5

Требуется найти икс, и нам на помощь спешит натуральный логарифм. Решением данного уравнения будет x = ln1,5, но если для математика такого ответа достаточно, то инвестору придется подсчитать это значение на нашем калькуляторе. Для этого введите значение в ячейку и сделайте один клик мышью. В результате получаем 0,40. Увы, никакой банк не предложит вам депозит под 40% годовых. Но зная необходимый процент вы можете определить произведение годовой ставки на количество лет. Зная, что вам требуется получить прирост в размере 40%, вы можете выбрать несколько вариаций и положить деньги в банк:

• под 10% годовых на 4 года;
• под 8% годовых на 5 лет;
• под 13% годовых на 3 года.

Как видите, экспонента и натуральный логарифм необходимы не только на занятиях по алгебре.

Наш онлайн-калькулятор — это быстрая и точная программа для вычисления значений натурального логарифма. Калькулятор представляет собой сборник из четырех программ для вычисления логарифмов разного типа. Для подсчетов достаточно выбрать в меню натуральный логарифм, ввести значение в ячейки и получить результат. Программа вычисляет как само значение логарифма lnx, так и возвращает величину x при известном значении логарифма.

Таблицы логарифмов, их использование

Для приближенного вычисления значений логарифмов могут быть использованы таблицы логарифмов
. Наиболее часто используется таблица логарифмов по основанию 2
, таблица натуральных логарифмов и таблица десятичных логарифмов. При работе в десятичной системе счисления удобно пользоваться таблицей логарифмов по основанию десять. С ее помощью и будем учиться находить значения логарифмов.

Представленная таблица позволяет с точностью до одной десятитысячной находить значения десятичных логарифмов чисел от 1,000
до 9,999
(с тремя знаками после запятой). Принцип нахождения значения логарифма с помощью таблицы десятичных логарифмов разберем на конкретном примере – так понятнее. Найдем lg1,256
.

В левом столбце таблицы десятичных логарифмов находим две первые цифры числа 1,256
, то есть, находим 1,2
(это число для наглядности обведено синей линией). Третью цифру числа 1,256
(цифру 5
) находим в первой или последней строке слева от двойной линии (это число обведено красной линией). Четвертую цифру исходного числа 1,256
(цифру 6
) находим в первой или последней строке справа от двойной линии (это число обведено зеленой линией). Теперь находим числа в ячейках таблицы логарифмов на пересечении отмеченной строки и отмеченных столбцов (эти числа выделены оранжевым цветом). Сумма отмеченных чисел дает искомое значение десятичного логарифма с точностью до четвертого знака после запятой, то есть, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990
.

А можно ли, используя приведенную таблицу, находить значения десятичных логарифмов чисел, имеющих больше трех цифр после запятой, а также выходящих за пределы от 1
до 9,999
? Да, можно. Покажем, как это делается, на примере.

Вычислим lg102,76332
. Сначала нужно записать число в стандартном виде
: 102,76332=1,0276332·10 2
. После этого мантиссу следует округлить до третьего знака после запятой, имеем 1,0276332·10 2 ≈1,028·10 2
, при этом исходный десятичный логарифм приближенно равен логарифму полученного числа, то есть, принимаем lg102,76332≈lg1,028·10 2
. Теперь применяем свойства логарифма: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2
. Наконец, находим значение логарифма lg1,028
по таблице десятичных логарифмов lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012
. В итоге весь процесс вычисления логарифма выглядит так: lg102,76332=lg1,0276332·10 2 ≈lg1,028·10 2 =
lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012
.

В заключение стоит отметить, что используя таблицу десятичных логарифмов можно вычислить приближенное значение любого логарифма. Для этого достаточно с помощью формулы перехода перейти к десятичным логарифмам, найти их значения по таблице, и выполнить оставшиеся вычисления.

Для примера вычислим log 2 3
. По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем . Из таблицы десятичных логарифмов находим lg3≈0,4771
и lg2≈0,3010
. Таким образом, .

Список литературы.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b:
log
a
b = c ⇔
a
c
= b
(a > 0, a ≠ 1, b > 0)
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp

Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1

Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.

Сложение и вычитание логарифмов.

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x
и log a y
. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x — log a y = log a (x:y).

log a
(x
1
.
x
2
.
x
3
…
x k
) =
log a x
1
+
log a x
2
+
log a x
3
+ … +
log a x k
.

Из теоремы логарифма частного
можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a
1= 0, следовательно,

log a
1 / b
= log a
1 — log a b
= — log a b
.

А значит имеет место равенство:

log a 1 / b = — log a b.

Логарифмы двух взаимно обратных чисел
по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Log 3 9= — log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица.
Данный метод применим к выражениям вида log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}}
. Однако он не годится для некоторых особых случаев:

Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, log ⁡ (− 3) {\displaystyle \log(-3)}
или log 4 ⁡ (− 5) {\displaystyle \log _{4}(-5)}
). В этом случае напишите «нет решения».
Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался ln ⁡ (0) {\displaystyle \ln(0)}
, запишите «нет решения».
Логарифм единицы по любому основанию ( log ⁡ (1) {\displaystyle \log(1)}
) всегда равен нулю, поскольку x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1}
для всех значений x
. Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
Если логарифмы имеют разные основания, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) {\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}}
, и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.

Преобразуйте выражение в один логарифм.
Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)}
.

Пример 1: рассмотрим выражение log ⁡ 16 log ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}}
.Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)}
.
Эта формула «замены основания» логарифма выводится из основных свойств логарифмов.

При возможности вычислите значение выражения вручную.
Чтобы найти log a ⁡ (x) {\displaystyle \log _{a}(x)}
, представьте себе выражение » a ? = x {\displaystyle a^{?}=x}
«, то есть задайтесь следующим вопросом: «В какую степень необходимо возвести a
, чтобы получить x
?». Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.

Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16}
. Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака «?». Это можно сделать методом проб и ошибок: 2 2 = 2 ∗ 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=2*2=4}
2 3 = 4 ∗ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=4*2=8}
2 4 = 8 ∗ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=8*2=16}
Итак, искомым числом является 4: log 2 ⁡ (16) {\displaystyle \log _{2}(16)}
= 4
.

Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его.
Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:

пример 2: чему равно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}}
?
Преобразуем данное выражение в один логарифм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)}

Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание 3 исчезает; это справедливо для любого основания.
Перепишем выражение в виде 7 ? = 58 {\displaystyle 7^{?}=58}
и попробуем найти значение?: 7 2 = 7 ∗ 7 = 49 {\displaystyle 7^{2}=7*7=49}
7 3 = 49 ∗ 7 = 343 {\displaystyle 7^{3}=49*7=343}
Поскольку 58 находится между этими двумя числами, не выражается целым числом.
Оставляем ответ в логарифмическом виде: log 7 ⁡ (58) {\displaystyle \log _{7}(58)}
.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркнул, что они работают только в том случае, если основания одинаковы. Но что происходит, если основания разные? Что произойдет, если они не являются точной силой одного и того же числа?

Вам на помощь приходит тип конверсии на новую базу. Сформулируйте их в виде теорем.

Второй тип показывает, что основание и аргумент логарифма можно поменять местами, но все уравнение является «обратным». То есть, логарифм находится в знаменателе.

Эти типы редко встречаются в обычных числовых выражениях. Только при решении логарифмических уравнений и неравенств можно оценить, насколько они полезны.

Однако существует несколько проблем, которые можно решить только путем изменения новой основы. Давайте рассмотрим некоторые из них:.

Обратите внимание, что оба логарифма имеют в аргументах точную мощность. Удалить экспонента: журнал.5 16 = дневник5 2 4 = 4log5 2; журнал.2 25 = журнал2 5 2 = 2log2 5;. Теперь «переверните» второй логарифм

Теперь «переверните» второй логарифм.

Подпись.

Поскольку произведение не зависит от счетчика множителей, мы безопасно перемножили четыре и два, прежде чем обратиться к логарифму.

Основание и аргумент первого логарифма — это точная оценка. Запишите и удалите экспонент:.

Подпись.

Далее перейдем к новому основанию и извлечем десятичный логарифм.

Подпись.

Логарифмы и логарифмическая функция

Рассмотрим уравнение, в котором возникает вопрос: до какой степени нужно преобразовать 2 в 8? Ответьте на этот вопрос, используя логарифм, равный 3. … Сложный; гм, этому не учат бесплатно в средней школе, Дж. — На сколько нужно увеличить ‘e’, чтобы получить 1? -Какая сила 10, чтобы получить 1/100? Действительно, на сколько нужно увеличить «a», чтобы получить «b»?

Логарифм числа по основанию: — является мощностью ‘pe’. Здесь «a» нужно увеличить, чтобы получить «b». Источник производной базового логарифмического тождества:. … Идентичность — это такое непоколебимое равенство:) сам символизм читается как логарифм «b», основанный на «a», и ясно, что логарифм определен только для положительного «b»: — по той причине, что фактическое положительное «a» «pe». -положительный. Логарифм с основанием ’10’ называется десятичным логарифмом и для краткости обозначается символом Логарифм по основанию ‘e’ называется натуральным логарифмом и обозначается символом. В высшей математике используются натуральные логарифмы, которые более подробно будут рассмотрены позже.

Свойства логарифмов

Как и в случае с силами/корнями, сосредоточьтесь только на тех свойствах, которые действительно важны, а не проверяйте все свойства. Переход к новой базе данных. При необходимости вы можете выбрать новую базу данных (из доступных вариантов:). Пример. Однако гораздо чаще встречаются следующие типы особых случаев. Например:. Конечно, формула работает и в обратном направлении. Это полезно, когда вы хотите удалить знаменатель. Если применяется следующее (как слева направо, так и справа налево): .

Например:

Обратите внимание, что эти действия возможны только при логарифмеТо же самое. основа, которую не следует путать с «аналогичной» ситуацией: or

Однако в последнем случае возможно следующее Следующий. Для любого действительного числа:.

Пример: — и это волшебно! В конце концов, избавиться от 50 градусов — это здорово! Обратное правило также популярно, особенно если нужно сделать другие упрощения: вышеприведенное правило можно распространить на отрицательные значения b, но нужно добавить модуль: — и это волшебство!

, если таковые имеются. Далее приводится пример. -и полученный логарифм также определен для отрицательного «x», так что эквивалентность соблюдена. Однако это преобразование не равно: и здесь необходимо всегда уточнять. Для других значений раздел не нужен: — потому что и начальный логарифм, и принимающий логарифм определены только для положительных значений ‘x’.

Логарифмирование и потенцирование

Для решения этого уравнения относительно логарифма «x» «мы висим» обычно используется натуральный логарифм.

И «любительская» проверка: около 80, это то, что мы должны были контролировать

Согласно логарифму, здесь можно смело логарифмировать, так как обе части уравнения (функции) определяются произвольным значением ‘x’ и являются положительными, поэтому нужно обратить внимание на их знаки. Однако здесь необходимо добавить модуль, так как обе части функции могут быть меньше нуля

Однако мы потеряли ценность, и эта энергия по-прежнему неоднородна (почему?).. Однако это не является препятствием для решения конкретной проблемы. Мы находим производные, которые даже вкладчики могут игнорировать. Да, почему логарифмический? Для упрощения правильно:.

Усиление — это обратное действие, «освобождение» логарифмов. Предположим, молодой физик много развлекается вычислениями в логарифмической шкале с десятичными точками и хочет отменить результаты. Нет проблем: используйте свойства силы, логарифма и основного логарифмического тождества. Усиление «упаковывает» логарифм справа: используется для явного выражения функции в «упаковке».

и просто удаляет логарифм и числитель одновременно.

Такие действия выполняются при решении определенных дифференциальных уравнений