Математические дроби

Нахождение целого числа по дроби

Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.

А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.

Например, если длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби . Давайте решим эту задачу.

Требуется найти длину всей линейки по дроби . Известно, что длины всей линейки составляют 6 см.

Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби это число 2.

Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:

Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2

6 см : 2 = 3 см

Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5

3 см × 5 = 15

Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.

Видно, что пять частей из пяти или составляют пятнадцать сантиметров.

Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.

Пример 2. Число 20 это от всего числа. Найдите это число.

Знаменатель дроби показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти (одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби

20 : 4 = 5

Мы нашли от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби

5 × 5 = 25

Мы нашли от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.

Пример 3. Десять минут это времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.

Знаменатель дроби показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби

10 мин : 2 = 5 мин

Мы нашли времени приготовления каши. времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби

5 мин × 3 = 15 мин

Мы нашли времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.

Пример 4. массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.

Знаменатель дроби показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби .

30кг : 2 = 15кг

Мы нашли массы мешка. массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби

15кг × 4 = 60кг

Мы нашли массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.

Суть дроби

Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля. Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь. Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

Основные доли и их запись в дробях:

Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь пришло время рассмотреть обратный процесс преобразования десятичной дроби в обычный процент. Сформулируйте правило преобразования, состоящее из трех шагов. Как преобразовать десятичные дроби в дробные?

Правила преобразования десятичных дробей в дробные.

В числитель записываем число из исходной десятичной дроби, отбросив запятую и все нули слева, если они есть.
В знаменатель записываем единицу и за ней столько нулей, сколько цифр есть в исходной десятичной дроби после запятой.
При необходимости сокращаем полученную обыкновенную дробь.

Рассмотрим применение этого правила на примере.

Пример 8.Преобразование дробных дробей в десятичные дроби

Преобразуйте 3,025 в дробь.

В числитель записываем саму десятичную дробь, отбросив запятую: 3025 .
В знаменателе пишем единицу, а после нее три нуля — именно столько цифр содержится в исходной дроби после запятой: 3025 1000 .
Полученную дробь 3025 1000 можно сократить на 25, в результате чего мы получим: 3025 1000 = 121 40 .

Переведите десятичные дроби 0 и 0017 из десятичной системы счисления в обычную.

В числителе запишем дробь 0, 0017, отбросив запятую и нули слева. Получится 17 .
В знаменатель записываем единицу, а после нее пишем четыре нуля: 17 10000. Данная дробь несократима.

Если в дробной дроби есть целое число, то дробь можно сразу преобразовать в смешанное число. Как это может произойти?

Давайте сформулируем другое правило.

Правило преобразования десятичной дроби в смешанное число.

Число, стоящее в дроби до запятой, записываем как целая часть смешанного числа.
В числителе записываем число, стоящее в дроби после запятой, отбросив нули слева, если они есть.
В знаменателе дробной части дописываем единицу и столько нулей, сколько цифр есть в дробной части после запятой.

Пример 10.Преобразование дробных дробей в смешанные числа

Пусть 155 и 06005 представлены в виде смешанных чисел.

Записываем число 155, как целую часть.
В числителе записываем цифры после запятой, отбросив нуль.
В знаменателе записываем единицу и пять нулей

Возьмите смешанное число: 155,6005,100000.

Дробная часть может быть уменьшена на 5. Уменьшите его и получите конечный результат.

155, 06005 = 155 1201 20000

Перевод бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

Рассмотрим пример дроби, преобразованной в повторяющуюся десятичную дробь. Прежде чем начать, давайте заявим, что каждая дробь может быть преобразована в обычную дробь.

В простейшем случае период дроби равен нулю. Дробь с нулевым периодом заменяется десятью десятичными знаками, и процесс преобразования таких дробей возвращается к преобразованию конечных дробей.

Пример 11.Преобразование дробных дробей в обычные дробные дроби

Преобразуйте периодическую дробь 3, 75 (0).

Используя нули справа, вы получите конечную десятичную дробь 3, 75.

Следуя алгоритму, описанному в предыдущем пункте, преобразуя эту дробь в обычную дробь, получаем

3, 75 (0) = 3, 75 = 375 100 = 15 4.

Что произойдет, если дробный период будет ненулевым? Периодические фракции следует рассматривать как сумму условий для сокращения геометрической прогрессии. Давайте проиллюстрируем это на примере.

Что такое дробь?

Для начала вспомним, что такое обыкновенная дробь. Это число, которое обозначает часть единицы, чего-то целого. Для того, чтобы использовать подобные числа в расчетах, нам нужно знать, на сколько частей поделили единицу и сколько частей мы взяли для расчета.

Например, вы решаете задачу, где сказано, что папа съел одну четвертую часть пирога. Нужно посчитать, сколько калорий употребил папа. В этом случае, для расчета нам потребуется дробь, которая обозначит часть пирога. Значит, пирог – это целое. На сколько частей поделили пирог?

Дробь записывается в виде двух чисел, разделенных чертой. Верхнее число зовется числителем. Как раз оно и отображает количество съеденных кусков. Тогда как знаменатель, это общее количество кусочков, на которое разделили целое.

Если числитель и знаменатель равны, то никакой дроби не получится. Получится число: 1. Так же, если числитель является кратным для знаменателя, то дробь сразу сокращают до целого числа.

Перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби

Теперь разберемся, как перевести десятичную дробь в обыкновенную. Начнем с перевода конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби. После этого рассмотрим метод обращения бесконечных периодических десятичных дробей. В заключение скажем о невозможности перевода бесконечных непериодических десятичных дробей в обыкновенные дроби.

Перевод конечных десятичных дробей в обыкновенные дроби

Получить обыкновенную дробь, которая записана в виде конечной десятичной дроби, достаточно просто. Правило перевода конечной десятичной дроби в обыкновенную дробь
состоит из трех шагов:

во-первых, записать данную десятичную дробь в числитель, предварительно отбросив десятичную запятую и все нули слева, если они есть;
во-вторых, в знаменатель записать единицу и к ней дописать столько нулей, сколько цифр находится после запятой в исходной десятичной дроби;
в-третьих, при необходимости выполнить сокращение полученной дроби.

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Обратите десятичную дробь 3,025
в обыкновенную дробь.

Решение.

Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025
. В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили. Итак, в числитель искомой дроби записываем 3 025
.

В знаменатель записываем цифру 1
и справа к ней дописываем 3
нуля, так как в исходной десятичной дроби после запятой находятся 3
цифры.

Так мы получили обыкновенную дробь 3 025/1 000
. Эту дробь можно сократить на 25
, получаем .

Ответ:

Пример.

Выполните перевод десятичной дроби 0,0017
в обыкновенную дробь.

Решение.

Без десятичной запятой исходная десятичная дробь имеет вид 00017
, отбросив нули слева получаем число 17
, которое и является числителем искомой обыкновенной дроби.

В знаменатель записываем единицу с четырьмя нулями, так как в исходной десятичной дроби после запятой 4
цифры.

В итоге имеем обыкновенную дробь 17/10 000
. Эта дробь несократима, и перевод десятичной дроби в обыкновенную закончен.

Ответ:

Когда целая часть исходной конечной десятичной дроби отлична от нуля, то ее можно сразу перевести в смешанное число, минуя обыкновенную дробь. Дадим правило перевода конечной десятичной дроби в смешанное число
:

число до десятичной запятой надо записать как целую часть искомого смешанного числа;
в числитель дробной части нужно записать число, полученное из дробной части исходной десятичной дроби после отбрасывания в ней всех нулей слева;
в знаменателе дробной части нужно записать цифру 1
, к которой справа дописать столько нулей, сколько цифр находится в записи исходной десятичной дроби после запятой;
при необходимости выполнить сокращение дробной части полученного смешанного числа.

Рассмотрим пример перевода десятичной дроби в смешанное число.

Пример.

Представьте десятичную дробь 152,06005
в виде смешанного числа

Дробь представляет собой число, которое состоит из одной или нескольких долей единицы. В математике существует три вида дробей: обыкновенные, смешанные и десятичные.

Обыкновенные дроби

Обыкновенная дробь записывается как соотношение, в котором в числителе отражается, сколько взято частей от числа, а знаменатель показывает, на сколько частей разделена единица. Если числитель меньше знаменателя, то перед нами правильная дробь.Например: ½, 3/5, 8/9.

Если числитель равен знаменателю или больше его, то мы имеем дело с неправильной дробью. Например: 5/5, 9/4, 5/2 При делении числителя может получиться конечное число. Например, 40/8 = 5. Следовательно, любое целое число может быть записано в виде обыкновенной неправильной дроби или ряда таких дробей. Рассмотрим записи одного и того же числа в виде ряда различных .

Смешанные дроби

В общем виде смешанная дробь может быть представлена формулой:

Таким образом, смешанная дробь записывается как целое число и обыкновенная правильная дробь, а под такой записью понимают сумму целого и его дробной части.

Десятичные дроби

Десятичная дробь – это особая разновидность дроби, у которой знаменатель может быть представлен как степень числа 10. Существуют бесконечные и конечные десятичные дроби. При записи этой разновидности дроби сначала указывается целая часть, затем через разделитель (точку или запятую) фиксируется дробная часть.

Запись дробной части всегда определяется ее размерностью. Десятичная запись выглядит следующим образом:

Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы

Бывает и так, что считать совершенно не хочется, да и попросту нет времени. Именно для таких случаев, или же, особо ленивых пользователей, в сети интернет есть множество удобных и простых в применении сервисов, которые позволят перевести обычные дроби, а также проценты, в десятичные дроби. Это действительно дорога наименьшего сопротивления, потому пользоваться подобными ресурсами – одно удовольствие.

Полезный справочный портал «Калькулятор»

После краткосрочного ожидания, приблизительно секунды в три, сервис выдаст конечный результат.

Точно таким же образом можно перевести в обычную дробь десятичную.

Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)

Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз «3» вмещается в «23». Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой — искомое. Это «7». Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную «7» умножаем на знаменатель «3» и из числителя «23» вычитаем полученное. Как бы находим то лишнее, что остается от числителя «23», если изъять максимальное количество «3». Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат

В этой статье мы разберем, как осуществляется перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
, а также рассмотрим обратный процесс – перевод десятичных дробей в обыкновенные дроби. Здесь мы озвучим правила обращения дробей и приведем подробные решения характерных примеров.

Навигация по странице.

Сложение дробей, объяснение

Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби, например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем, нижнее — знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает…), скажите себе с выражением фразу: «Зззззапомни! Зззззнаменатель — внизззззу!» Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления — две точки.

1/2 = 1 : 2

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби «32/8» гораздо приятнее написать число «4». Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32 : 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь «4/1». Которая тоже просто «4». А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби, например:

0,5 или 3,28 или 0,125 и так далее.

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания «В».

3. Смешанные числа, например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните… На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби. С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями!

Примеры

Конечные дроби

Пример 1

0,2 =

Т.к. после запятой всего одна цифра, значит пишем один ноль после единицы в знаменателе, а в числитель переносим цифру 2.

Пример 2

0,02 =

Т.к. после запятой две цифры, значит пишем два нуля после единицы в знаменателе. А в числитель переносим только цифры, отличные от нуля.

Пример 3

0,02000 = 0,02 =

Т.к. нули после цифр в дробной части десятичной дроби можно отбросить, следовательно, остаются только две цифры, а значит – всего два нуля с единицей в знаменателе. Числитель, как и в примере выше, будет содержать только одну цифру 2.

Пример 4

3,8 = 3

Целую часть десятичной дроби переписываем в целую часть простой смешанной дроби, а дробную часть представляем в виде числителя и знаменателя. Полученную дробь, также, можно записать как неправильную.

3 ⋅ 10 + 8

Пример 5

6,27 = 6

(смешанная дробь)

6 ⋅ 100 + 27

627

(неправильная дробь)

Пример 6

8,09 = 8

(смешанная дробь)

8 ⋅ 100 + 9

809

(неправильная дробь)

Пример 7

10,607 = 10

607

10 ⋅ 1000 + 607

10607

Пример 8

15,040500 = 15,0405 = 15

405

15 ⋅ 10000 + 405

150405

Бесконечные дроби

Давайте переведем бесконечную дробь 12,004571231457668723568421… в обыкновенную.

Решение
Для начала округлим дробь до 4 цифр после запятой, т.е. 12,004571231457668723568421… ≈ 12,0046.

Теперь можем превратить эту дробь в простую.

12,0046 = 12

12 ⋅ 10000 + 46

120046

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Узнайте, как преобразовать дробные дроби в обычные.

Если дробный период равен нулю, то решение быстрое. Периодические дроби с нулевым периодом заменяются конечными дробными числами, а процесс обращения таких пропорций возвращается к инверсии конечных дробей.

Пример. Преобразуйте периодическую дробь 1,32 (0) в обычную дробь.

Оставьте все нули справа и получите конечную десятичную дробь 1,32. Затем следуйте алгоритму предыдущего пункта.

Рассмотрим другой пример с дробными периодами, равными нулю.

Как записать периодическую дробь 10.0219 (37) в виде обычной дроби:.

Считаем количество цифр в периоде десятичной дроби. Обозначаем количество цифр за букву k.

Во-первых, перед первой значащей цифрой стоит ноль. Отбросьте нули. Символизируйте результат результата.

Теперь остается только заменить все значения типа и получить ответ.

Решена проблема преобразования неопытных периодических дробей в обычные дроби.

Существует еще один способ преобразования периодических дробей в обычные дроби. Сделайте это и рассматривайте дробь периода как сумму условий сокращения геометрической прогрессии. Например, чтобы.

0, (98) = 0.98 + 0.0098 + 0.000098 + 0.00000098 + .

Существуют виды сумм членов бесконечно убывающих геометрических прогрессий. Если первый член прогрессии равен b, а q-знаменатель равен 0

Пример. Преобразуйте периодическую дробь 0 (7) в обычную дробь.

С первым членом 0,7 и знаменателем 0,1 найдена бесконечная убывающая геометрическая прогрессия.

0, (7) = 0.7 + 0.07 + 0.007 +. = 0.7/(1-0.1) = 0.7/0.9 = 7/9.

Таким образом, существует два типа периодических дробей. В следующем разделе описаны различные способы их преобразования в обыкновенные дроби.

Решение примеров

Порой теоретическая информация довольно трудно воспринимается без применения её на практике

Поэтому крайне важно не только посмотреть, как делает преобразование учитель, но и самостоятельно выполнить перевод. Обычно хватает трех-четырех примеров для каждого типа преобразований, чтобы закрепить материал и освоить практическое применение

Существуют определённые сборники заданий, предназначенные для самостоятельного решения учащимися. Вот некоторые наиболее интересные примеры из них:

Преобразовать: 1/1000, 34/10, 78954/10, 186/100, 959/10000. Алгоритм действия определяется правилом отсчитывания запятой. В задании три нуля, но в числителе только один знак. Поэтому на недостающих местах следует поставить нули. Отсюда следует что 1/1000 = 0,001. По аналогии нужно решать и следующие примеры. В итоге должно получиться: 34/10 = 3,4, 78954/10 = 7895,4, 186/100 = 1,86, 959/10000 = 0,0959.
Записать выражения в обыкновенном виде: 0,59, 34,78, 0,00078, 767,009. В соответствии с правилом в числителе записывают исходное число, а в знаменатель ставят единицу: 0,59 = 0,59/1. Для избавления от запятой делимое и делитель умножают на сто, так как по условию после запятой стоит два знака: (0,59 * 100) / (1 * 100) = 59/100. Аналогично решают и оставшиеся примеры: 34,78 = 34,78/1 = 34,78 * 100/ 100 = 3478/100, 0,00078 = 78/100000 = 39/50000, 767,009 = 767 + 0,009= 767 9/1000.
Перевести выражения в десятичный вид: 5/2, ¼, 34/81, 456/1245, 1245/456. Преобразование таких примеров можно выполнить путём деления числителя на знаменатель для нахождения частного. В первом случае пять нужно разделить на два. Используя деление в столбик, можно опередить, что целым будет число два (2 * 2 = 4). Так как в остатке получается единица, то в частном ставят запятую, а к остатку дописывают ноль. То есть, 5/2 = 2,5. Таким же образом переводят и другие примеры: ¼ = 0,25, 34/81 = 0,420, 456/1245 = 0,366, 1245/456 = 2,73.

Эти задания затрагивают преобразование как в одну, так и в другую сторону. После первичного перевода не стоит забывать об упрощении полученного результата. Его нужно делать всегда, чтобы в дальнейшем при решении сложных задач последующие действия становились проще.

Перевести обычную дробь в десятичную возможно несколькими способами

После того, как стало понятно, какие дроби можно переводить из обычных в десятичные, можно приступить, собственно, к самому преобразованию. На самом деле, нет ничего сверхсложного, даже для того, у кого школьная программа окончательно «выветрилась» из памяти.

Как переводить дроби в десятичные: наиболее простой метод

Этот способ перевода обычной дроби в десятичную, действительно, является наиболее простым, однако многие люди даже не догадываются о его бренном существовании, так как в школе все эти «прописные истины» кажутся ненужными и не очень-то важными. Между тем, разобраться сможет не только взрослый, но легко воспримет подобную информацию и ребенок.

Итак, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель, равно как и знаменатель, на одно число. Однако все не так просто, так в результате, именно в знаменателе должно получиться 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 и так далее, до бесконечности. Не стоит забывать предварительно проверить, точно ли можно данную дробь превратить в десятичную.

Рассмотрим примеры:

Допустим, нам нужно провести преобразование дроби 6/20 в десятичную. Производим проверку:

После того, как мы убедились, что перевести дробь в десятичную дробь, да еще и конечную, все же, возможно, так как ее знаменатель легко раскладывается на двоечки и пятерки, следует приступить к самому переводу. Самым лучшим вариантом, по логике вещей, чтобы умножить знаменатель и получить результат 100, является 5, так как 20х5=100.

Можно рассмотреть дополнительный пример, для наглядности:

Второй и боле популярный способ переводить дроби в десятичные

Второй вариант несколько сложнее, однако он пользуется большей популярностью, ввиду того, что он гораздо проще для понимания. Тут все прозрачно и ясно, потому давайте сразу же перейдем к вычислениям.

Стоит запомнить

Для того, что правильно преобразовать простую, то есть обычную дробь в ее десятичный эквивалент, нужно числитель разделить на знаменатель. По сути, дробь – это и есть деление, с этим не поспоришь.

Рассмотрим действие на примере:

Итак, первым делом, чтобы перевести дробь 78/200 в десятичную, нужно ее числитель, то есть число 78, разделить на знаменатель 200. Но первым делом, что должно войти в привычку, нужно произвести проверку, о которой уже говорилось выше.

После произведения проверки, нужно вспомнить школу и делить числитель на знаменатель «уголком» или «столбиком».

Как видите, все предельно просто, и семи пядей во лбу, чтобы легко решать подобные задачки вовсе быть не требуется. Для простоты и удобства приведем также и таблицу самых популярных дробей, которые просто запомнить, и даже не прилагать усилий, чтобы их переводить.

Как превратить десятичную дробь в обычную?

Десятичные дроби (ДД) записываются в строчку: целая часть – до запятой, дробная – после запятой. Например, 3,45 или 0,299.

Обыкновенные (ОД) пишут “в два этажа”: вверху – числитель, внизу – знаменатель. Целую часть – перед дробью. Например: ( frac{4}{5} ), ( frac{25}{70} ), 3( frac{2}{7} ).

Есть два основных пути перевода десятичной дроби в обычную и их варианты.

Первый способ – механический

Попробуем 0,05 превратить в ( frac{1}{20} ):

Запишем в числитель значимые цифры ДД (без нулей слева и запятых), а в знаменатель – единицу: ( frac{5}{1} ).
Добавим к единице столько нулей, сколько знаков после запятой в исходном числе 0,05, то есть два: ( frac{5}{100} ).
Сократим получившуюся ОД на 5, получим ( frac{1}{20} ).

Результат решения: 0,05 = ( frac{5}{100} ) = ( frac{1}{20} ).

ДД с целой частью, например 3,075, преобразуем так:

Запишем в числитель все цифры без запятой: ( frac{3075}{} ).
В знаменатель – “1” и столько “0”, сколько знаков после запятой в числе 3,075 – три: ( frac{3075}{1000} ).
Сократим на 25: ( frac{3075}{1000} )= ( frac{123}{40} ) (можно постепенно, два раза по 5).
Если далее следуют еще какие-то вычисления, можно оставить ее в таком виде. Если нет, превратим неправильную дробь в правильную, выделив целую часть, 123 : 40 = 3 (и 3 в остатке). Значит — ( frac{123}{40} ) = 3( frac{3}{40} )

Ход преобразований: 3,075 = ( frac{3075}{1000} ) = ( frac{123}{40} ) = 3( frac{3}{40} ).

Или так:

Оставляем целое ДД “за кадром” и займемся только дробным компонентом: 3,075 – это 3 + 0,075:

3 пока не трогаем;
0,075 переводим в ОД: ( frac{75}{1000} ).

Сокращаем полученную дробь на 25: ( frac{75}{1000} ) = ( frac{3}{40} ).
Возвращаем целую часть на свое место, соединяем: 3,075 = 3( frac{3}{40} ).

Вся последовательность: 3,075 → 0,075 = ( frac{75}{1000} ) = ( frac{3}{40} ) → 3( frac{3}{40} ).

Второй способ – “на слух”

Этот подход более естественный. Каждый легко запишет под диктовку:

восемь/девятых – ( frac{8}{9} );
одиннадцать/тридцатых – ( frac{11}{30} );
сто две/триста семнадцатых – ( frac{102}{317} ).

Также можно выразить и десятичную дробь, например, 0,45:

0, 45 – это (слушаем!) сорок пять/сотых – ( frac{45}{100} );
Теперь сократим на 5: ( frac{45}{100} ) = ( frac{9}{20} ).

В итоге получаем: 0,45 = ( frac{45}{100} ) = ( frac{9}{20} ).

Целое, если оно есть, можно “отложить на потом” и вернуть в конце вычислений.

Пусть требуется выразить 14,408 в виде ОД:

14 целых не трогаем. Превращаем: 0,408 = ( frac{408}{1000} ).
Сокращаем на 8: ( frac{408}{1000} ) = ( frac{51}{125} ).
Соединяем целую и дробную части.

Ход решения: 14, 408 = 14( frac{408}{1000} ) = 14( frac{51}{125} ).

Еще несколько примеров:

1, 08 – одна целая, восемь сотых – 1( frac{8}{100} ) = 1( frac{2}{25} ) (дробную составляющую уменьшили в 4 раза);
5,0125 – пять целых, сто двадцать пять/десятитысячных – 5( frac{125}{1000} ) = 5( frac{1}{80} ) (сократили на 125);
0,648 – шестьсот сорок восемь тысячных – ( frac{648}{1000} ) = ( frac{81}{125} ) (разделили все на 8).

Свойства десятичных дробей

Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули

$ \displaystyle \frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000$и т.д.

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:

3. Десятичная дробь возрастает в $ 10$, $ 100$, $ 1000$ и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:

$ 0,0125\cdot 100=1,25$ (перенесли запятую на $ 2$ знака вправо – умножили на $ 100$ и дробь возросла в $ 100$ раз)

4. Десятичная дробь уменьшается в $ 10$, $ 100$, $ 1000$ и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:

$ 124,56:100=1,2456$ (перенесли запятую на $ 2$ знака влево – разделили на $ 100$ и дробь уменьшилась в $ 100$ раз)

Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

Дроби

Дроби вида $\frac{n}{m}$ называют «обыкновенные дроби». В дроби $\frac{n}{m}$ число над чертой называют числителем дроби, а число под чертой – знаменателем дроби.

Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель — сколько таких долей взято.

Таким образом, если нам нужно обозначить не один «кусочек» числа, а больше, мы просто пишем в верхней части дроби не единицу, а другое число, например, так:

Рисунок 5

Дроби нужно уметь читать правильно: числитель читается как количественное числительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель как порядковое числительное (вторая, пятая) и согласуется с первым числительным.Например: $\frac{1}{2}$ — одна вторая, $\frac{2}{5}$ — две пятых, $\frac{6}{11}$ — шесть одиннадцатых.

На рисунке 6 изображён отрезок АВ, его длина 10 см, то есть 1 дм. Длина отрезка АС будет 1 см.

Рисунок 6

А какую долю составит сантиметр от метра?

Показать ответ

Скрыть

$\frac{1}{100}$

А грамм от килограмма?

Показать ответ

Скрыть

$\frac{1}{1000}$

Алгоритм решения задач с обыкновенной дробью общего вида

Когда необходимо произвести вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, то в процессе решения суммируется только числитель дробей.\Где:\ и равные некоторым числовым значениям.
При выполнении сложения или вычитания дробей для различных значений в знаменателях, нужно выполнить приведение к общему знаменателю. Далее осуществить сложение или вычитание преобразованных дробей с одинаковыми числовыми значениями.
При перемножении дробных значений, выполняются следующие действия:
- произведение числителей;
- аналогичные действия , но только с знаменателями.
При выполнении деления, необходимо первую дробь перемножить на вторую, но в обратном значении. Иными словами произвести замену числителя на значение знаменателя.

Основные показатели и свойства дроби:

черта в дроби обозначает признак деления;
деление на числовое значение характеризуется как перемножение его на обратное значение;
возможность применения свойств, которые относятся для действительных чисел;
свойства для дробей и различного рода числовых неравенств.

Применяя данные свойства можно произвести преобразование дробных чисел:

Пример №1:

Для заданных значений дроби: \ и \ необходимо выполнить сложение.

используя алгоритм решения, необходимо значения в числителе сложить, а в знаменателе оставить без изменений и переписать.

Выполнив все действия получим дробь: \.

Далее произведем сложение и получим дробное значение:

Следовательно: \

Ответ задачи: \.

Пример №2

Необходимо найти разность дробей:

\{2}}{3 \cdot\left(\log_{2} 3 \cdot \log_{2} 5+1\right)}\]

Так как в знаменателе данные являются равными между собой. вычисление будет производиться по принципу равного знаменателя.

Из этого следует:

\{2}}{3 \cdot\left(\log {2} 3 \cdot \log {2} 5+1\right)}=\frac{1-\sqrt{2} \sqrt{2}}{3 \cdot\left(\log {2} 3 \cdot \log {2} 5+1\right)}\]

Для решения данного типа задач важно помнить правило приведения к общему знаменателю

Как перевести проценты в десятичную дробь : нет ничего проще

Вот наконец дошел ход и до процентов, которые, оказывается, как гласит все та же, школьная программа, можно перевести в десятичную дробь. Причем тут все будет еще гораздо проще, и пугаться не стоит. Справятся с задачей даже те, кто не заканчивал университеты, а пятый класс школы вовсе прогулял и ничего не смыслит в математике.

Начать, пожалуй, нужно с определения, то есть разобраться, что такое, собственно, проценты. Процент – это одна сотая часть от какого-либо числа, то есть, абсолютно произвольно. От сотни, к примеру, это будет единица и так далее.

Таким образом, чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно попросту убрать значок %, а потом разделить само число на сотню.

Рассмотрим примеры:

Причем, чтобы произвести обратную «конвертацию», нужно попросту сделать все наоборот, то есть, число нужно умножить на сотню и приписать к нему значок процента. Точно таким же образом, посредством применения полученных знаний, можно также и обычную дробь перевести в проценты. Для этого достаточно будет просто сперва преобразовать обычную дробь в десятичную, а потому уже ее перевести в проценты, а также легко можно произвести и обратное действие. Как видите, ничего сверхсложного нет, все это элементарные знания, которые просто необходимо держать в уме, в особенности, если имеете дело с цифрами.