Решение задач на движение. формулы, схемы, встречное движение

Задача на скорость удаления

Скорость удаления — это скорость, с которой объекты отдаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Задача. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля  80  км/ч, а скорость второго —  40  км/ч.

1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?

2) Какое расстояние будет между автомобилями через  3  часа?

3) Через сколько часов расстояние между ними будет  200  км?

Решение: Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:

80 — 40 = 40 (км/ч).

Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на  40  км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через  3  часа, для этого скорость удаления умножим на  3:

40 · 3 = 120 (км).

Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет  200  км, надо расстояние разделить на скорость удаления:

200 : 40 = 5 (ч).

Ответ:

1) Скорость удаления между автомобилями равна  40  км/ч.

2) Через  3  часа между автомобилями будет  120  км.

3) Через  5  часов между автомобилями будет расстояние в  200  км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?Решение: 1) лодка движется по течению реки.27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.2) лодка движется против течения реки.27 – 3 = 24 (км/ч) – скорость лодки против течения реки120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.Ответ:1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Урок по теме «Решение текстовых задач на движение». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:сформировать представление о составлении математической модели;
рассмотреть особенности решения задач на движение.
отработать умение составлять дробное рациональное уравнение по условию текстовой задачи.

Универсальные учебные действия:

регулятивные: составление плана и последовательности действий;

коммуникативные: построение речевых высказываний;

познавательные: формулировка проблемы и создание способов ее решения; структуирование знаний;

личностные: самооценка.

Вид урока: урок усвоения знаний, умений и навыков.

Организационный момент.
Актуализация опорных знаний учащихся.
Мотивация учебной деятельности учащихся.
Изучение нового материала.
Закрепление. Коррекция умений и навыков учащихся.
Проверка уровня усвоения новых знаний, умений и навыков.
Итог урока.

Решение задач на движение с помощью рациональных уравнений

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний учащихся.

Наиболее удобные обозначения при решении задач на движение

S (км)– путь, расстояние;

V (км/ч) – скорость;

Связь при равномерном движении по прямой между этими величинами такова:

1х>1х+2; 15у-2>15у+2; 60х-7>60х;

Из двух дробей с равными числителями больше та, у которой знаменатель меньше:

Условия задачи удобно анализировать, заполняя таблицу.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
По течению
Против течения

3. Мотивация учебной деятельности учащихся.

4. Изучение нового материала.

Основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3. Решение полученного уравнения.

4. Интерпретация полученного результата.

Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

Путь S (км.)	Скорость V (км/ч.)	Время t (ч)
Против течения	6 км	(х-2)км/ч
По озеру	15 км	х км/ч

На 1 час больше.

Пусть х км/ч скорость движения лодки по озеру. По условию х > 0.

Ответ: собственная скорость лодки 6 км/ч или 5 км/ч.

5. Закрепление. Коррекция умений и навыков учащихся.

Учащимся предлагается выбрать правильный ответ. Приложение 1

Учащиеся выходят к доске по одному, заполняют таблицу и составляют уравнение. Для экономии времени всем учащимся раздаются листы с условиями задач и пустыми таблицами. Успешным учащимся предлагается для одной из задач провести полное решение.

1. Теплоход проходит по течению до пункта назначения 126 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения 2 км/ч, стоянка длится 8 ч, а в пункт отправления теплоход возвращается ровно через сутки после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
По течению	126 км	(х+2)км/ч
Против течения	126 км	(х-2)км/ч

Возвращается через 24 ч.

Пусть х км/ч собственная скорость теплохода. По условию х > 2.

2. Пристани А и В, расстояние между которыми равно 120 км, расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 5 км/ч. Катер проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 24 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Путь S (км)	Скорость V (км/ч)	Время t (ч)
Из А в В.	120 км	(х+5)км/ч
Из В в А.	120 км	(х-5)км/ч
Туда и обратно.	240 км	24 км/ч

Пусть х км/ч собственная скорость катера. По условию х > 5.

3. Из пункта А в пункт В, расположенного на расстоянии 100 км, отправился автобус со скоростью 36 км/ч. Как только автобус проехал пятую часть пути, вслед за ним выехала машина. В пункт В они прибыли одновременно. Найдите скорость машины в км/ч.

Путь S (км.)

Скорость V (км/ч.)

Время t (ч)

Автобус

100 км
36 км/ч

Машина

100 км
Х км/ч

Больше на

4. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 80 км, выехал автобус. В середине пути он был задержан на 10 минут, но, увеличив скорость на 20 км/ч, прибыл в В вовремя. С какой скоростью автобус проехал первую половину пути?

Путь S (км.)

Скорость V (км/ч.)

Время t (ч)

I половина

40 км
х км/ч

II половина

40 км
(х+20)км/ч

На 10 мин меньше

5. Дополнительно: Велосипедист проехал из поселка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всем пути следования составляла 12 км/ч?

6. Проверка уровня усвоения новых знаний, умений и навыков.

Полоса движения

Первое, нужно четко понимать, что такое полоса движения:

То есть полоса движения может находиться исключительно на проезжей части, а проезжая часть в свою очередь неотъемлемый элемент дороги. Из этого следует, выехать на встречную полосу можно только, если транспортное средство находится на проезжей части дороги. Ни на АЗС, ни во дворах, привлечь за выезд на встречную полосу вас не могут. Даже выезд и движение по тротуару или обочине, расположенными на левой стороне дороги, не является выездом на встречную полосу. Но стоит понимать, что попасть на левую сторону дороги, можно в основном только, через встречную полосу. В любом случае движение по тротуару и обочине – это грубое нарушение ПДД на какой бы стороне дороги они не находились.

Итак отметим – выезд на встречную полосу может быть только на проезжей части дороги.

Так же в тексте Правил дорожного движения фигурирует понятие “ряд” однако отдельного определения для него нет. Поэтому будем использовать обычное толкование этого понятия

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?Решение: 180:2=90 (км/ч.)Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?Решение: 240:80=3 (ч.)Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?Решение: 70 · 3 = 350 (км)Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Примеры решения

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

В задаче требуется найти скорость второго, более медленного, велосипедиста. Примем его скорость за x. Заполним таблицу:

v, км/ч	t, ч	S, км
Первый велосипедист	x + 10		60
Второй велосипедист	x		60

В условии задачи сказано, что первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. На основании этого составим уравнение:

Получаем два корня, x₁ = 10 и x₂ = –20. Второй корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Задача №1

Выразите в метрах в секунду ($\frac{м}{с}$) скорости: $60 \frac{км}{ч}$; $90 \frac{км}{ч}$; $300 \frac{км}{ч}$; $120 \frac{м}{мин}$.

Дано:$\upsilon_1 = 60 \frac{км}{ч}$$\upsilon_2 = 90 \frac{км}{ч}$$\upsilon_3 = 300 \frac{км}{ч}$$\upsilon_4 = 120 \frac{м}{мин}$

Показать решение и ответ

Скрыть

Решение:

Для перевода скорости в метры в секунду нам нужно:

• перевести километры в метры ($1 \space км = 1000 \space м$)
• выразить часы или минуты в секундах ($1 \space мин = 60 \space с$; $1 \space ч = 60 \space мин = 3600 \space с$)

Тогда,$\upsilon_1 = 60 \frac{км}{ч} = 60 \frac{1000 \space м}{3600 \space c} = \frac{1000 \space м}{60 \space c} \approx 16.7 \frac{м}{с}$.

При вычислениях старайтесь увидеть величины, которые можно сократить (как 60 и 3600).

Если мы вычислим множитель $\frac{1000 \space м}{3600 \space c}$, то получим, что $1 \frac{км}{ч} = \frac{}{3.6} \frac{м}{с}$.

Вы можете каждый раз последовательно переводить величины (километры в метры и часы в секунды) или просто разделить скорость, выраженную в километрах в час на $3.6$ и получить скорость в метрах в секунду. Рекомендуется идти первым путем, потому что второй способствует потере точности.

Переведем следующие две скорости в единицы СИ:$\upsilon_2 = 90 \frac{км}{ч} = 90 \frac{1000 \space м}{3600 \space c} = 1000 \cdot 0.025 \frac{м}{с} = 25 \frac{м}{с}$,$\upsilon_3 = 300 \frac{км}{ч} = 300 \frac{1000 \space м}{3600 \space c} = \frac{1000 \space м}{12 \space c} \approx 83.3 \frac{м}{с}$.

Теперь переведем скорость, выраженную в метрах в минуту в метры в секунду:$\upsilon_4 = 120 \frac{м}{мин} = 120 \frac{м}{60 \space c} = 2 \frac{м}{с}$.

Ответ: $\upsilon_1 \approx 16.7 \frac{м}{с}$; $\upsilon_2 = 25 \frac{м}{с}$; $\upsilon_1 \approx 83.3 \frac{м}{с}$; $\upsilon_4 = 2 \frac{м}{с}$.

Прямые запреты выезда на встречную полосу

Тут все просто, Правила дорожного движения однозначно указывают, когда выезжать на встречную полосу запрещено.

При повороте после выезда с пересечения проезжих частей транспортной средство не должно оказаться на встречной полосе. Количество полос и наличие разметки значения не имеет
.

На любой дороге имеющей 4 или более полос выезд на встречную полосу для обгона или объезда запрещен. Наличие разметки значения не имеет
.

Обратите внимание, при отсутствии разметки или знаков согласно {tip:: 9.1. Количество полос движения для безрельсовых транспортных средств определяется разметкой и (или) знаками 5.15.1, 5.15.2, 5.15.7, 5.15.8, а если их нет, то самими водителями с учетом ширины проезжей части, габаритов транспортных средств и необходимых интервалов между ними

При этом стороной, предназначенной для встречного движения на дорогах с двусторонним движением без разделительной полосы, считается половина ширины проезжей части, расположенная слева, не считая местных уширений проезжей части (переходно-скоростные полосы, дополнительные полосы на подъем, заездные карманы мест остановок маршрутных транспортных средств).}п.9.1{/tip} ПДД Водитель самостоятельно определяет 2 или 4 полосы содержит проезжая часть. Однако при движении двух рядов в одном направлении, очевидно, что дорога имеет две полосы достаточных для движения автомобилей в одном направлении, не смотря на субъективную оценку водителя. Естественно могут быть частные случаи с грузовыми автомобилями, но давайте сделаем логический вывод – при отсутствии разметки (и)или знаков 5.15.1, 5.15.2, 5.15.7, 5.15.8 выезжать третьим и далее рядом
на встречную полосу запрещено.

Здесь обратим внимание на обязательное наличие разметки, так как при ее отсутствии согласно п. 9.1 ПДД трех полос на дороге быть не может

Если разметка отсутствует, на дороге может быть только чётное количество полос независимо от того во сколько рядов осуществляется движение
.

А теперь прошу обратить внимание на расположение транспортных средств на иллюстрациях без разметки. Ширина дороги одинаковая, но в одном случае 4 полосы движения, в другом три

Эти ситуации регулирует п. 9.1 ПДД:

Как видите, при отсутствии разметки расположение транспортных средств регулируют сами водители, не один водитель, а все, исходя из дорожной ситуации. И одна и та же дорога может иметь различное количество полос в зависимости от ситуации на дороге.

Двигаться по дороге можно в три ряда, но при этом дорога останется двухполосной согласно п. 9.1 ПДД, и второй ряд будет частично двигаться по встречной полосе. На двухполосной дороге без разметки
нет требований двигаться строго по полосе и выезд на встречную полосу не запрещен.

Однако, если транспортное средство из третьего ряда вернется в свою полосу, то это уже будет считаться обгоном
, а в данном случае это будет являться нарушением п.11.2 ПДД. То есть выезд на встречную осуществляется без нарушения правил, но если этот выезд связан с обгоном, то правила будут нарушены.

На этой же самой дороге может двигаться два ряда в одном направлении, но в пределах половины ширины проезжей части, расположенной справа.

Таким образом, образуется две полосы в одном направлении, и встречная полоса или полосы расположенные на левой половине проезжей части выезд, на которые запрещен согласно п.9.2, если на левой стороне две полосы, и согласно п.9.3, если на левой стороне проезжей части одна полоса. Опять же количество полос определяется водителями движущимися, как в попутном, так и во встречном направлении.

Тут все просто, если на дороге есть встречные трамвайные пути, выезд на них запрещен.

Также запрещено выезжать на встречную полосу перед переездом:

Как решать задачи на движение

Решение задач на движение подчиняется четкому алгоритму, который состоит из нескольких этапов:

1. Анализ данных.
2. Составление таблицы.
3. Составление уравнения.
4. Решение уравнения.

Остановимся подробно на каждом пункте:

1. Первое, с чего нужно начать — медленно и вдумчиво прочитать условие задачи, то есть проанализировать данные.

Чтобы наглядно представить задачу, необходимо сделать рисунок и отобразить на нем все известные по условию задачи величины.

2. Второй шаг — составить таблицу по условию задачи, внести в таблицу известные величины и ввести неизвестные.

Таблица состоит из трех столбцов S, v и t (путь, скорость и время) и нескольких строк. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о котором дана в задаче. Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего, это то, что требуется найти в задаче). В третью, оставшуюся колонку вписываем связь характеристик из двух уже заполненных столбцов по формуле:

В таблице получается столько строчек, сколько каждый из объектов задачи действовал (то есть, перемещался) или мог бы действовать.

3. Следующий шаг — при помощи сделанного рисунка и заполненной таблицы составить уравнение или систему уравнений.

По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу. Эта информация характеризует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. На основании этой информации и данных из третьей колонки составляем уравнение.

4. Решить полученное уравнение и прийти к ответу.

Когда уравнение составлено, последний шаг — это решить его, и, в конце концов, получить ответ.

Будьте внимательны, если за неизвестное вы приняли не то, что требуется найти в задаче. В этом случае следует выразить то, что нужно найти через полученное решение уравнения. Если, решив уравнение, вы получили несколько ответов, то следует отобрать только имеющие смысл решения. Помните, что путь, скорость и время не могут быть отрицательными.