Векторное произведение — определения, свойства, формулы, примеры и решения

Vectors

Contents

• Entering vectors in MATLAB
• Комментарии к стилю
• Векторная арифметика
• Скалярное произведение
• Перекрестное произведение

Ввод векторов в MATLAB

столбцы). Итак, чтобы войти в векторы A = -3 I — 4 J — K , B = 6 I + 2 J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x . я + у j + z k введите

 a = 
 

а =

    -3 -4 -1

 

 б = 
 

б =

     6 2 3

 

и

 символов x y z
и = 
 

ты =
 

 
 

Команда syms необходима, чтобы сообщить MATLAB, что x,y,z являются символическими. Если вы забудете это сделать, вы получите сообщение об ошибке, говорящее о том, что у вас есть неопределенная функция или переменная. 92

Вы можете складывать и вычитать их, а также умножать на скаляры.

 а + б
 

ответ =

     3 -2 2

 

 5*а
 

ответ =

   -15 -20 -5

 

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает
обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

• он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
• он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
• длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
• тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как .

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Пройти урок

Смешанное произведение векторов в координатах

Для данного способа определения произведения векторов, используется сугубо алгебраический метод.

Перечень смешанных векторов: \, которые непосредственно заданы в координатной системе данных  \  для правого направления, следует выражать характерной формулой, виде матрицы:

Определение

Ориентация базиса – это его стандартная ориентация, для которой решаются практически все задачи.

С практической точки зрения стоит отметить следующие важные моменты:

• для всего векторного произведения, координатные данные векторов следует изображать в конкретный определитель в особо строгом порядке.
• когда в любом смешанном произведении \ выбрать несколько векторов, затем переставить их местами, следовательно нужно переставить и все характерные строки определителя.
• при перестановке строк в количестве двух штук, соответствующие строки изменяют знак на противоположный.
• при перемене местами любых векторов, для смешанного произведения будет характерно изменение знака на противоположный.

Соответственно, все координаты векторов не всегда нужно записывать в виде строк. Также они могут изображаться как таблица: слева направо, и обязательно, в строгом порядке.

Основное значение главного определителя при этом изменяться не будет: компланарность векторов также имеет огромное значение в данном случае.

Пример 1

Даны следующие значения векторов \.

Необходимо определить:

• смешанное векторное произведение;
• значение объема параллелепипеда, который построен на векторах \;
• значение объёма геометрической фигуры тетраэдра, который также построен на векторах \.

Процесс решения заключается в следующем

1. Применяя формулу для смешанного произведения вычисляем неизвестную:

Значение определителя раскрыто по первому столбцу

2. Определение значения объёма параллелепипеда, который построен на векторах \, равняется модулю смешанного векторного произведения:

3. Определяем значение объема тетраэдра, который построен на заданных векторах:

Ответ:

Пример 2

Определить значение объема, которое характерно для треугольной пирамиды. Применяя все известные ее вершины: A(-2 ;-2 ; 0), B(0 ; 4 ;-1), C(1 ; 2 ; 1), D(-13 ; 8 ; 11)

Решение: Для простоты выполнения, рекомендуется выполнять схематический рисунок геометрической пирамиды, это необходимо для более понятного процесса решения.

Для начал определяются значения векторов, по исходным данным:

Следующим действием произведение векторов смешанного типа.

\

Выполним расчет для треугольной пирамиды ABCD:

Ответ задачи: \

Пример 3

Определить объём заданной пирамиды, с известными вершинами: \

Для начала определим значения векторов

Смешанное произведение определим по формуле:

\

Применяя формулу из геометрии определим объем пирамиды \

\

\

Популярные статьи

Функции улыбки
Психология

Типы и виды экономического роста
Экономика

Общие сведения о понятии «сила веса»
Физика

Функции экономической науки
Информатика

Понятие электрического поля
Физика

Сила Лоренца
Физика

Преимущества и недостатки рыночной экономики
Экономика

Правила речевого этикета
Русский язык

Уравнение Майера
Физика

Формула производной от дроби, примеры
Математика

Некоторые приложения векторного произведения Установление коллинеарности векторов

Если , то (и наоборот), т. е.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы относительно точки О называется вектор , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами . Стало быть,

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где О — некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Векторное произведение векторов

Так иногда бывает, что для полного счастья математикам нужно что-то еще, и если скалярное произведение еще может быть знакомо со школы, то векторное произведение чаще всего изучают в ВУЗе на курсах вышмата.

Обрадую всех вас — если все, что происходило до этого работало и в двухмерном и в трехмерном пространстве, то векторное произведение векторов подразумевает работу ТОЛЬКО с трехмерным пространством. (Стало проще, да ведь?)

В данном произведении участвуют также 2 вектора. Отличие от скалярного произведения тех же двух векторов будет в том, что в результате векторного произведения получается ВЕКТОР, а не число.

Формальное определение:
 

Векторным произведением  ā x b̅  неколлинеарных векторов  ā и b̅, взятых в определенном порядке, называется ВЕКТОР ā x b̅ , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ā x b̅  ортогонален векторам  ā и b̅, и направлен так, что базис (ā; b̅;ā x b̅) имеет правую ориентацию.

Это определение сложное и требует некоторых комментариев:

1. 

Векторы ā и b̅ по определению должны быть неколлинеарны. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Таким образом такие векторы могут называться параллельными, но так называть вектора просто не принято — их называют коллинеарными. Касаемо ситуации с векторным произведением — векторы должны быть, наоборот, непараллельными.

2.

 Важен порядок векторов. От этого зависит направление результата.

3.

Длина результирующего вектора равна площади заштрихованного параллелограмма. 

4.

Результирующий вектор ортогонален векторам  ā и b̅, т.е.  ā ┴   и  b ┴ 

5.

Результирующий вектор  направлен так, что базис (ā; b̅;ā x b̅) имеет правую ориентацию. 

Мысленно совместите указательный палец с вектором ā и средний палец с вектором b̅. Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – результирующий вектор будет смотреть вверх. Это правоориентированный базис.

Указательный палец левой руки с тем же вектором  ā, а средний – с вектором b̅. При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис.

Эти базисы не являются чем-то абстрактным. Примером может служить изображение и его отражение в зеркале. Самое обычное зеркало меняет ориентацию пространства, а изображение и зеркальное отражение этого отображения невозможно просто наложить друг на друга (попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются).

Что же будет, если вектора  ā и b̅ будут коллинеарны (т.е. параллельны, говоря на простом языке) — все просто, параллелаграм, который образуется этими векторами “складывается” в плоскую прямую, а площадь такой прямой равна нулю, из-за чего и результирующий вектор равен нулевому.  

Примеры решения

Для решения некоторых категорий задач, необходимо пользоваться тригонометрической таблицей. Для определения углов функций.

Пример 1:

Необходимо определить длину векторного произведения двух векторов \, , если:

Определить площадь параллелограмма, который построен на основании векторов \, если:

По условию задачи необходимо вычислить длину векторного произведения. По следующей формуле:

Ответ:

В ответе обязательно следует указывать единицы измерения, так как определится длина.

Из условия задачи нужно определить площадь фигуры параллелограмм, который построен на векторах \.

Площадь равняется значению длины векторного произведения:

Ответ:

Пример 2:

Определить площадь геометрической фигуры треугольник, который построен на векторах \, , если:

Для решения задачи применим соответствующую формулу и вспомним все преобразования, которые необходимы для определения площади.

Ответ:

Пример 3:

Найти:

Решение: По условию требуется определить длину векторного произведения:

Алгоритм решения:

вынести за пределы скобок векторного произведения все константы, согласно ассоциативного закона.

затем выносим значение константы за пределы модуля; при этом модуль изменят отрицательный знак на положительный.

Ответ:

Пример 4:

Необходимо определить значение площади треугольника.

Для этого задано в задаче следующие данные:

, если:

Алгоритм решения задачи:

Площадь треугольника определяется по уже известной формуле:

Данный алгоритм стандартный и частично имеет схожесть с другими примерами.

Решение для удобства, необходимо разделить на три этапа:

Этап 1:

Нужно правильно выразим произведение векторов: \\] через определение векторного произведения \\].

Иными словами, выражение вектора через вектор.

Для этого сформулируем и запишем следующее:

подставляем в формулу соответствующие выражения векторов \.

используя определённые законы, нужно раскрыть скобки по характерным правилам умножения числовых многочленов.

применяя ассоциативные векторные законы, можно вынести все константы за скобки и пределы векторных произведений.

Первое и последнее выражение равно нулевому значению или нулевому вектору, исходя из принятого свойства: \=\overline{0}\].

Для второго слагаемого применяется свойство анти коммутативности и выглядит следующим образом: \=-6 \cdot\]

— приведение подобных слагаемых.

По результатам вычисления заданный вектор получился выражен через вектор. Этого и требовалось доказать:\=-5 \cdot\]

Этап 2:

На втором этапе определяется длина заданного векторного произведения.

Приведенное действие напрямую напоминает задачу №3:

Этап 3:

Применяя все известные данные и формулы, можно определить площадь треугольника:

Ответ

Пример 5:

Определить векторное произведение, применяя все заданные значения векторов:

\|\], если:

Необходимо выразить вектор \\] через другой вектор \\]:

Используя все данные и алгоритм решения можно составить формулу и записать следующее выражение подставляя числа:

Окончательным действием будет определение произведения векторов, поэтапно подставляя все числовые значения:

Ответ задачи: \|=4 \text { ед }\]

Определение смешанного произведения векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число  – скалярное произведение a  на векторное произведение
Смешанное произведение обозначается так:

Пусть в некоторой пдск
Обозначим      
Тогда   
по 7 свойству определителей. 
Таким образом,                              
По  определению  скалярного  произведения 
Совместим начала всех трех векторов в одной точке. Тогда (рис. 21)   – площадь параллелограмма,    – высота параллелепипеда,   – объем параллелепипеда.  

Геометрический  смысл  смешанного  произведения:  модуль  смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях,  при  этом  –  правая  тройка,  и  – левая тройка. 
 

Свойства смешанного произведения

1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является  равенство  нулю  их  смешанного  произведения:    компланарны  
 

Доказательство:   а) компланарны
Если компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а потому
б)компланарны.   
Во всех трех случаях   компланарны: в частности,  если  параллелен плоскости векторов  , что означает их компланарность. 

2.  Круговая  перестановка  сомножителей  в  смешанном  произведении  не изменяет  его  величины.  Перестановка  соседних  сомножителей  изменяет  его знак, не изменяя абсолютной величины:  

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.  

3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами:
 

Доказательство:  из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим:

4.  Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей.  – линейность по первому сомножителю. 

Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей. 

Пример №14

Найти  объем  тетраэдра,  построенного  на  векторах   , и его высоту, перпендикулярную плоскости векторов . 
Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, поэтому
Отсюда (заметим, что – левая тройка, так как смешанное произведение отрицательно). 
Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой    
По формуле (2.7)

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Геометрия
5. Аналитическая геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

1. $\overline{α}х\overline{β}=-(\overline{β}х\overline{α})$

   Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.

2. $(r\overline{α})х\overline{β}=r(\overline{α}х\overline{β})$ и $\overline{α}х(r\overline{β})=r(\overline{α}х\overline{β})$

   Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:

   $(r\overline{α})\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rα_1&rα_2&rα_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

   $\overline{α}х(r\overline{β})=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\rβ_1&rβ_2&rβ_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

3. $\overline{α}х(\overline{β}+\overline{γ})=\overline{α}\overline{β}+\overline{α}\overline{γ}$ и $(\overline{α}+\overline{β})\overline{γ}=\overline{α}\overline{γ}+\overline{β}\overline{γ}$.

   Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.

   Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:

4. Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)

   Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение.

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:

$S=|\overline{α}х\overline{β}|$

Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$

Следовательно

$S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$

Ответ: $24$.

Геометрический смысл векторного произведения.

По определению длина векторного произведения векторов равна . А из курса геометрии средней школы нам известно, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними. Следовательно, длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки. Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным . В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Пример.

В прямоугольной декартовой системе координат дан параллелограмм ABCD, . Используя векторное произведение, определите площадь треугольника АВD и площадь параллелограмма АВCD.

Решение.

Обозначим площадь треугольника АВD через , а площадь параллелограмма . В геометрическом смысле длина векторного произведения равна площади параллелограмма АВCD, то есть, , следовательно, . Итак, решение задачи свелось к нахождению длины векторного произведения.

Для этого сначала определяем координаты векторов и :

Теперь по их координатам находим векторное произведение

Вычисляем длину векторного произведения по его координатам .

Таким образом, и .

Ответ:

.

Линейные операции над векторами

Определение. Суммой векторов и называется вектор, проведенный из начала к концу , если конец
и начало совмещены (правило треугольника).

Определение. Суммой n векторов называется вектор, начало которого совпадает с
началом первого вектора , конец — с концом
последнего при условии, что каждый последующий
вектор отложен из конца предыдущего (k=1,…,n) (правило замыкающей).

Свойства операции сложения:

• (коммутативность);
• (ассоциативность);
• (наличие нулевого
  элемента);
• (наличие
  противоположного элемента).

Определение. Разностью векторов и называется вектор такой, что в сумме с вектором дает вектор :
, если

Определение. Произведением вектора на число λ≠0 называется вектор
, модуль которого и который направлен в ту же сторону, что и вектор , если λ>0, и противоположную, если λ<0. Если λ=0 и/или
, то
.

Свойства произведения вектора на число::

• (дистрибутивность относительно сложения
  векторов);
• (дистрибутивность относительно сложения двух
  чисел);
• (ассоциативность);
• (умножение на единицу).

Теорема . Вектора и коллинеарны, если выполняется следующее равенство:

Рассмотрим некоторый вектор и ось l. Пусть точки A₁ и B₁ — точки пересечения оси l с перпендикулярными ей плоскостями, проходящими через точки A и B.

Определение. Проекцией вектора на ось l называется число, равное длине вектора , взятой со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.

Обозначение: .

Проекция вычисляется по формуле:

где &varphi; — угол между вектором и осью l.

Основные свойства проекции:

Если — орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы, т.е. линейной комбинации, с коэффициентами :

Коэффициенты линейной комбинации называют координатами вектора в базисе . Координаты вектора — это его проекции на координатные оси. Запись:

Длина вектора определяется по формуле:

Вектор образует с координатными осями Ox, Oy, Oz углы α, β, γ соответственно. Направление этого вектора определяется с помощью направляющих косинусов, для которых справедливы равенства:

Направляющие косинусы связаны соотношением: .

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение применяется довольно редко, поэтому и примеров задач не много.

Практически вся информация сводится к следующим данным:

• главному определению;
• геометрическому смыслу;
• рабочие формулы.

Важно

Смешанным произведение нескольких векторов, будет называться произведение трёх характерных векторных значений:

Смешанное произведение трех векторов \ и некомпланарных векторов \, которые берутся в определенном порядке, будет называется объём геометрического параллелепипеда.

Данная геометрическая фигура построена на заданных векторах, которые отражены с положительным значением.

 Если базисное значение векторов  \ имеет правое направление , когда отрицательный знак, то  базис векторов \ имеет  левое направление.

Все характеристики подробно изображены на рисунке.

Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

т.е.

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.

Почему мы используем $ijk$ для векторов?

Ответить

Проверено

157,8 тыс.+ просмотров

Подсказка: В этом вопросе нам задали вопрос о причине использования $ijk$ для векторов. Из основных представлений о векторах мы знаем, что $i,j,k$ — это единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно. В декартовой системе координат любой вектор обычно представляется в терминах его единичных векторов.

Полное пошаговое решение: Теперь, рассматривая вопрос, нам задали вопрос о причине использования $ijk$ для векторов.  Из основных представлений о векторах мы знаем, что $i,j,k$ — это единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно. В декартовой системе координат любой вектор обычно представляется в терминах его единичных векторов. Здесь единичные векторы представляют направление вектора. Мы знаем, что вектор — это физическая величина, имеющая как величину, так и направление. 9{2}}}$ . Обычно величина любого единичного вектора всегда равна единице. Вот почему для них придумано название единичного вектора. Единичный вектор также известен как вектор направления.

Примечание: При ответе на вопросы этого типа нас попросили обсудить всю концепцию, поэтому наша концепция должна быть ясной. Любой вектор можно представить в пространстве с помощью единичных векторов. Единичный вектор, лежащий вдоль направления $\vec{P}$, задается как $\hat{p}=\dfrac{{\vec{P}}}{\left| {\vec{P}} \right|}$ .

Недавно обновленные страницы

Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main

Что из следующего верно цианид с А Этиловый спирт класс 12 по химии JEE_Main

Если ab и c единичные векторы, то влево ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 математика класса 12 JEE_Main

Что из следующего является правильным 1 nleft S чашка T справа класс 10 математика JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft математика класса 11 JEE_Main

KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этил спирт 12 класс химия JEE_Main

Актуальные сомнения

Студенты также читают

Почему мы дышим?

Почему мы болеем

Почему у нас два глаза?

How Much Water Do We Use

Главные условия и класс компланарности векторов

1. Если произведение трех векторов равно нулевому значению. Данные вектора можно характеризовать как компланарные.
2. Когда три любых вектора независимы друг от друга, то они будут компланарными.
3. Когда задано несколько векторов, выполняется условие: компланарность будет характерна, для двух любых векторов, если они линейно друг от друга зависимы.

Для более лучшего восприятия материала, необходимо применить правила компланарности и коллинеарности при решении практических задач.

Для этого решим, и подробно распишем три конкретных примера.

Пример №1:

В условии задачи даны три вектора со следующими числовыми значениями.

a(1,2,3);

b(1,1,1);

c(1,2,1).

При условии, что произведение векторов будет равняться нулевому значению, можно сделать вывод о компланарности векторов.

Определяем произведение заданных значений.

Запишем все значения в виде матрицы и решим ее, применяя правила произведения и разности чисел.

a, b, с = 1*1*1+1*2*3+2*1*1-1*1*3-2*1*1-1*2*1=2 0

Так как окончательный ответ не равен нулю, а равен значению два. Следует, что вектора не являются компланарными.

Пример №2:

Заданы три вектора с положительными и отрицательными значениями. Необходимо составить и решить матрицу чисел.

a(1,-1,2);

b(0,1,-1);

c(2,-2,4).

Для решения задачи, нужно вычислить произведение значений векторов.

a, b, с=1*1*1+0*(-2)*2+(-1)*(-1)*2-2*(-1)*1-0*(-1)=0

Выполнив все действия по вычислению произведения данных, мы видим, что ответ уравнения равен нулю.

Согласно основному правило компланарности, можно сделать вывод, что вектора ему соответствую. То есть являются компланарными между собой.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь