Деление на ноль запрещено как в математике так и в религии

В информатике

В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:

Попытка целочисленного
деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
В вещественной
арифметике последствия могут быть различным в разных языках:

генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу .

Действия с нулём

В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметки начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

Примеры вычисления

С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

СЛОЖЕНИЕ

При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Пример 1

Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

+ =

Пример 2

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

ВЫЧИТАНИЕ

При вычитании нуля из некоторого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) оставляет его полностью неизменным.

Пример 1

Две тысячи сто пятьдесят два минус ноль равняется две тысячи сто пятьдесят два.

– =

Пример 2

Сорок одна целая три пятых минус ноль равняется сорок одна целая три пятых.

УМНОЖЕНИЕ

При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль получается ноль.

Пример 1

Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль равняется ноль.

× =

Пример 2

Ноль умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль.

× =

Пример 3

Ноль умножить на ноль равняется ноль.

× =

ДЕЛЕНИЕ

Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

В тех случаях, когда ноль представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

Пример 1

Ноль разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль.

: =

Пример 2

Ноль разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль.

Делить ноль на ноль согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

: = ибо × =

В математике такая задача, как деление нуля на ноль, не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль. Если это определено, то такому выражению, как ноль разделить на ноль, в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

Учителя многое недоговаривали

Сразу же стоит отметить, что эта аксиома является не совсем правдивой. На самом деле на ноль делить можно, и конец света от этого не настанет. Просто уравнение будет иметь бесконечное количество решений. Чем-то напоминает число «Пи», которое можно высчитывать в течение всей жизни и так и не получить конечного результата. Однако когда человек учится в школе, у него даже не возникает вопроса о том, что будет, если поделить на ноль. Слова преподавателя он воспринимает на веру.

Но может ли учитель объяснить маленькому ребенку, что такое принцип неопределенности или натуральный предел? Куда проще будет сказать, что на 0 делить нельзя. Правило не является совсем правдивым, зато школьник не будет пытаться решить уравнение, которое имеет несколько миллиардов решений. Если же в процессе разбора задачи выходит так, что все-таки приходится поделить на ноль, значит, где-то была допущена ошибка.

На самом деле у такой задачи может быть и иное решение — бесконечность (при условии, что при расчетах не было допущено ошибок). Чтобы это доказать, не придется использовать формулу массы или закон сохранения энергии из физики. В

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Ноль и бесконечность

Бесконечность часто встречается в высшей математике

Так как школьникам просто не важно знать о том, что существуют еще математические действия с ней, то и объяснить детям, почему деление на 0 выполнить нельзя, учителя как следует не могут

Бесконечность отличается от неопределенности, она один из ее видов

Математические секреты ученики начинают узнавать на первом курсе института. Высшая математика предоставляет комплекс задач, которые не имеют решения. Самыми известными являются задачи с бесконечностью. Их решают при помощи математического анализа.

К бесконечности применимы математические действия: сложение, умножение. Еще применяют вычитание и деление, но в конечном итоге они все равно сводятся к двум простейшим операциям.

Но что будет, если попытаться:

Бесконечность умножить на 0. По идее, если попробуем умножить на 0 любое число, то получим 0. Но бесконечностью является неопределенное множество цифр. Так как мы не можем выбрать из этого множества одну, то выражение ∞*0 не имеет решения и является абсолютно бессмысленным.
Ноль делить на бесконечность. Здесь происходит та же история, что и выше. Не можем выбрать одну цифру, а значит не знаем на что разделить. Выражение не имеет смысла.

Теперь попробуем поделить бесконечность на 0. Должна выйти неопределенность. Но если попробуем заменить деление умножением, то получится определенный ответ.

Например: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Как результат, выходит такой математический парадокс.

Ответ, почему нельзя делить на ноль:

Мысленный эксперимент, пробуем делить на ноль:

Итак, теперь известно, что 0 подчиняется практически всем операциям, которые производят с обычными числами, кроме одной единственной. На 0 делить нельзя только потому, что в результате получается неопределенность.

В информатике

Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:

генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄, где ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — или , а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0
. Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

Компьютерная арифметика

Большинство калькуляторов, таких как этот Инструменты Техаса ТИ-86, остановит выполнение и отобразит сообщение об ошибке, когда пользователь или запущенная программа попытается разделить на ноль.

Деление на ноль на Android 2.2.1 калькулятор показывает символ бесконечности.

В Стандарт IEEE с плавающей запятой, поддерживается практически всеми современными единицы с плавающей запятой, указывает, что каждый плавающая точка арифметическая операция, включая деление на ноль, дает четко определенный результат. Стандарт поддерживает подписанный ноль, а также бесконечность и NaN (не число). Есть два нуля: +0 (положительный ноль) и −0 (отрицательный ноль), и это устраняет любую двусмысленность при разделении. В IEEE 754 арифметика, а ÷ +0 положительная бесконечность, когда а положительная, отрицательная бесконечность, когда а отрицательно, и NaN, когда а = ± 0. Знаки бесконечности меняются при делении на −0 вместо.

Обоснованием этого определения является сохранение знака результата в случае арифметическое истощение. Например, при вычислении с одинарной точностью 1 / (Икс/ 2), где Икс = ±2−149, вычисление Икс/ 2 переполняется и дает ± 0 со знаком соответствия Икс, и результат будет ± ∞ с соответствием знаков Икс. Знак будет соответствовать точному результату ± 2150, но величина точного результата слишком велика для представления, поэтому бесконечность используется для обозначения переполнения.

Целочисленное деление на ноль обычно обрабатывается иначе, чем деление с плавающей запятой, поскольку для результата нет целочисленного представления. Некоторые процессоры генерируют исключение когда делается попытка разделить целое число на ноль, хотя другие просто продолжат и сгенерируют неверный результат для деления. Результат зависит от того, как реализовано деление, и может быть либо нулем, либо иногда максимально возможным целым числом.

Из-за неправильных алгебраических результатов приписывания любого значения делению на ноль многие компьютеры языки программирования (в том числе используемые калькуляторы ) явно запрещает выполнение операции и может преждевременно остановить программу, которая пытается ее выполнить, иногда сообщая об ошибке «Делить на ноль». В этих случаях, если требуется какое-то особое поведение для деления на ноль, условие должно быть явно проверено (например, с использованием если заявление ). Некоторые программы (особенно те, которые используют арифметика с фиксированной точкой там, где нет специального оборудования с плавающей запятой) будет использовать поведение, аналогичное стандарту IEEE, используя большие положительные и отрицательные числа для аппроксимации бесконечностей. В некоторых языках программирования попытка разделить на ноль приводит к неопределенное поведение. Графический язык программирования Scratch 2.0 и 3.0 Используемый во многих школах, возвращает Infinity или -Infinity в зависимости от знака дивиденда.

В два дополнения В арифметике попытки разделить наименьшее целое число со знаком на -1 сопровождаются аналогичными проблемами и обрабатываются с тем же диапазоном решений, от явных условий ошибки до неопределенное поведение.

Большинство калькуляторов либо возвращают ошибку, либо сообщают, что 1/0 не определено; однако некоторые TI и HP графические калькуляторы оценят (1/0)2 до ∞.

Microsoft Math и Mathematica вернуть за 1/0. Клен и SageMath возвращает сообщение об ошибке для 1/0 и бесконечность для 1 / 0,0 (0,0 указывает этим системам использовать арифметику с плавающей запятой вместо алгебраической арифметики).

Некоторые современные калькуляторы позволяют деление на ноль в особых случаях, когда это будет полезно студентам и, предположительно, будет понятно математикам в контексте. Некоторые калькуляторы, онлайн Desmos калькулятор является одним из примеров, разрешить арктангенс (1/0). Студентов часто учат, что функция обратного котангенса арккотангенс, следует вычислить, взяв арктангенс обратной величины, поэтому калькулятор может разрешить арктангенс (1/0), давая результат π2{ displaystyle { tfrac { pi} {2}}}, который является правильным значением арккотангенса 0. Математическое обоснование состоит в том, что предел, когда x стремится к нулю арктангенса 1 / x, равен π2{ displaystyle { tfrac { pi} {2}}}.

В информатике

Попытка целочисленного
деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
В вещественной
арифметике последствия могут быть различным в разных языках:

генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 — число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности — или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number — «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Когда появился ноль?

Цифра ноль таит в себе множество загадок:

В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.

В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.

Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо
.

Что будет если поделить на 0?

д., а нужно получить в произведении 2,3,7.

Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения. Однако число, отличное от нуля, можно разделить, на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на

то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают.

Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут

Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.

Строгий запрет на деление на ноль налагается ещё в младших классах школы. Дети обычно и не задумываются о его причинах, но на самом деле знать, почему что-нибудь запрещается, и интересно, и полезно.

Арифметические действия

Арифметические действия, которые изучаются в школе, неравноценны с точки зрения математиков. Они признают полноправными только две из этих операций — сложение и умножение. Они входят в само понятие числа, и все остальные действия с числами так или иначе строятся на этих двух. То есть невозможно не только деление на ноль, но и деление вообще.

Вычитание и деление

Чего же не хватает остальным действиям? Опять же, из школы известно, что, например, вычесть из семи четыре — значит, взять семь конфет, четыре из них съесть и посчитать те, что останутся. Но математики поеданием конфет и вообще воспринимают их совершенно иначе. Для них есть только сложение, то есть запись 7 — 4 означает число, которое в сумме с числом 4 будет равно 7. То есть для математиков 7 — 4 — это краткая запись уравнения: х + 4 = 7. Это не вычитание, а задача — найти такое число, которое нужно поставить вместо х.

То же самое относится к делению и умножению. Деля десять на два, младшеклассник раскладывает десять конфет на две одинаковые кучки. Математик же и здесь видит уравнение: 2 · х = 10.

Так и выясняется, почему запрещено деление на ноль: оно просто невозможно. Запись 6: 0 должна превращаться в уравнение 0 · х = 6. То есть требуется найти число, которое можно умножить на ноль и получить 6. Но известно, что умножение на ноль всегда даёт ноль. Это сущностное свойство ноля.

Таким образом, нет такого числа, которое, умножаясь на ноль, давало бы какое-то число, отличное от ноля. Значит, у этого уравнения нет решения, нет такого числа, которое соотносилось бы с записью 6: 0, то есть она не имеет смысла. О её бессмысленности и говорят, когда запрещают деление на ноль.

Делится ли ноль на ноль?

А можно ли ноль разделить на ноль? Уравнение 0 · х = 0 не вызывает затруднений, и можно взять за х этот самый ноль и получить 0 · 0 = 0. Тогда 0: 0 = 0? Но, если, например, принять за х единицу, тоже получится 0 · 1 = 0. Можно принять за х вообще какое угодно число и делить на ноль, и результат останется прежним: 0: 0 = 9, 0: 0 = 51 и так далее.

Таким образом, в это уравнение можно вставить совершенно любое число, и невозможно выбрать какое-то конкретное, невозможно определить, какое число обозначается записью 0: 0. То есть и эта запись тоже не имеет смысла, и деление на ноль всё равно невозможно: он не делится даже сам на себя.

Такова важная особенность операции деления, то есть умножения и связанного с ним числа ноль.

Остаётся вопрос: но вычитать его можно? Можно сказать, что настоящая математика начинается с этого интересного вопроса. Чтобы найти ответ на него, необходимо узнать формальные математические определения числовых множеств и познакомиться с операциями над ними. Например, существуют не только простые, но и делениекоторых отличается от деления обычных. Это не входит в школьную программу, но университетские лекции по математике начинаются именно с этого.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность – это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.