8 класс. геометрия. многоугольники.

Является ли треугольник четырехугольником?

Пояснение: Все треугольники имеют три стороны и три угла, отсюда и корень слова «три», что означает «три». Все четырехугольники имеют четыре стороны и четыре угла, поэтому корень «квадрат» означает «четыре». Треугольник никогда не будет четырехугольником, потому что они не имеют общих черт.

Также является ромбовидным треугольником? В плоской евклидовой геометрии ромб (множественное число ромбов или ромбов) представляет собой четырехугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. …

Ромб
Ромб в двух разных ориентациях
Тип	четырехугольник, трапеция, параллелограмм, воздушный змей
Ребра и вершины	4
Символ Шляфли	{} + {} {2 _α }

Какая фигура не является правильным многоугольником?

Круг не является многоугольником, так как не имеет прямых сторон.

Какой формы правильный многоугольник? Многоугольник правильный, когда все углы равны и все стороны равны (иначе это «нерегулярно»). Это правильный пятиугольник (пятиугольник).

Свойства

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны выпуклости:

Каждые внутренний угол строго меньше 180 градусы.
Каждая точка на каждом отрезок между двумя точками внутри или на границе многоугольника остается внутри или на границе.
Многоугольник полностью содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
Для каждого края все внутренние точки находятся на той же стороне линии, которую определяет край.
Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины по краям и внутри.
Многоугольник — это выпуклая оболочка его краев.

Дополнительные свойства выпуклых многоугольников:

Пересечение двух выпуклых многоугольников образует выпуклый многоугольник.
Выпуклый многоугольник может быть триангулированный в линейное время через веерная триангуляция, состоящий в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
Теорема Хелли: Для каждого набора по крайней мере из трех выпуклых многоугольников: если пересечение любых трех из них непусто, то весь набор имеет непустое пересечение.
Теорема Крейна – Мильмана: Выпуклый многоугольник — это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
Теорема о разделении гиперплоскостей: Любые два выпуклых многоугольника, не имеющих общих точек, имеют разделительную линию. Если многоугольники замкнуты и хотя бы один из них компактный, то есть даже две параллельные разделительные линии (с промежутком между ними).
Вписанный треугольник Свойство: Из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, существует треугольник с максимальной площадью, все вершины которого являются вершинами многоугольника.
Вписывающий треугольник свойство: каждый выпуклый многоугольник с площадью А можно вписать в треугольник площадью не более 2А. Равенство имеет место (исключительно) для параллелограмм.
Надписанные / вписывающие прямоугольники свойство: для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что a гомотетичный копия R кольца r описана вокруг C, и положительное отношение гомотетии не превосходит 2 и 0.5 × Площадь(р)≤Площадь(C)≤2 × Площадь(р){ displaystyle 0.5 { text {× Area}} (R) leq { text {Area}} (C) leq 2 { text {× Area}} (r)}.
В средняя ширина выпуклого многоугольника равен периметру его, деленному на пи. Таким образом, его ширина равна диаметру круга с таким же периметром, что и у многоугольника.

Каждый многоугольник, вписанный в круг (такой, что все вершины многоугольника касаются круга), если не самопересекающийся, выпуклый. Однако не каждый выпуклый многоугольник можно вписать в круг.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Как доказать эту формулу?

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:

Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.

Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .

Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.

1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:

Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .

2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:

Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a₆ = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах

Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности

Разбиение выпуклого многоугольника

В некоторых случаях для решения геометрических задач необходимо разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников с непересекающимися диагоналями. Эту проблему можно решить путем выведения определенной формулы.

Определение задачи: назовем правильным некое разбиение выпуклого n-угольника на несколько треугольников диагоналями, пересекающимися только в вершинах этой геометрической фигуры.

Решение: Предположим, что Р1, Р2 , Р3 … , Pn — вершины этого n-угольника. Число Xn — количество его разбиений. Внимательно рассмотрим полученную диагональ геометрической фигуры Pi Pn. В любом из правильных разбиений Р1 Pn принадлежит определенному треугольнику Р1 Pi Pn, у которого 1

Пусть і = 2 будет одной группой правильных разбиений, всегда содержащей диагональ Р2 Pn. Количество разбиений, которые входят в нее, совпадает с числом разбиений (n-1)-угольника Р2 Р3 Р4… Pn. Иными словами, оно равняется Xn-1.

Если і = 3, то эта другая группа разбиений будет всегда содержать диагонали Р3 Р1 и Р3 Pn. При этом количество правильных разбиений, что содержатся в данной группе, будет совпадать с числом разбиений (n-2)-угольника Р3 Р4… Pn. Другими словами, оно будет равняться Xn-2.

Пусть і = 4, тогда среди треугольников правильное разбиение непременно будет содержать треугольник Р1 Р4 Pn, к которому будет примыкать четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-угольник Р4 Р5… Pn. Количество правильных разбиений такого четырехугольника равняется Х4, а число разбиений (n-3)-угольника равняется Xn-3. Исходя из всего изложенного, можно сказать, что полное количество правильных разбиений, которые содержатся в данной группе, равняется Xn-3 Х4. Другие группы, у которых і = 4, 5, 6, 7… будут содержать Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильных разбиений.

Пусть і = n-2, то количество правильных разбиений в данной группе будет совпадать с числом разбиений в группе, у которой i=2 (другими словами, равняется Xn-1).

Так как Х1 = Х2 = 0, Х3=1, Х4=2…, то число всех разбиений выпуклого многоугольника равно:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х 5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132

Понятие многоугольника. Что такое многоугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, представляющая собой замкнутую ломаную линию.

Существуют три варианта определения многоугольников:

Многоугольник — это плоская замкнутая ломаная линия;
Многоугольник — это плоская замкнутая ломаная линия без самопересечений;
Многоугольник — это часть плоскости, которая ограничена замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом

Многоугольник называют выпуклым, при условии, что одно из следующих условий является верным:

Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины;
Выпуклый многоугольник является пересечением нескольких полуплоскостей;
Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих выпуклому многоугольнику, полностью ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Классификация (виды) многоугольников

Классификация многоугольников по видам может быть по многим свойствам, самые главные из них:

количество вершин
выпуклость
правильность
возможность вписать или описать окружность

треугольникчетырехугольникквадратлюбого треугольника всегда можно описать окружность

Может ли треугольник иметь плоскую вершину?

A трапеция представляет собой четырехстороннюю плоскую фигуру с одной парой противоположных параллельных сторон. Он выглядит как треугольник, верхняя часть которого срезана параллельно нижней.

Какой формы треугольник? В геометрии треугольник замкнутая двухмерная форма с тремя прямыми сторонами. Треугольник — это тоже многоугольник.

Как выглядит треугольник?

Является ли треугольник выпуклым? Многоугольник выпуклая, если все внутренние углы меньше 180 градусов. … Все треугольники выпуклые Невыпуклый треугольник нарисовать невозможно.

У треугольников четыре стороны?

Треугольник имеет 3 вершины. Мы должны сделать его многоугольником.Итак, мы должны соединить все 3 вершины вместе так, чтобы он мог образовать замкнутую ФИГУРУ.ЭТО возможно, если провести 3 линии. Таким образом, Треугольник не имеет 4 сторон.

Алмаз — это форма?

Алмазы имеют уникальную форму, поскольку обладают множеством различных геометрических атрибутов. Бриллиант четырехугольник, двумерная плоская фигура с четырьмя замкнутыми прямыми сторонами. Но алмаз также относится к категории ромбов, потому что у него четыре равные стороны, а его противоположные углы равны.

Каковы углы алмаза? Каков наилучший угол короны для бриллианта? По мнению экспертов, лучший угол короны между 32-35 градусами. Когда угол короны бриллианта меньше 32 градусов, это называется разбросной огранкой, придающей бриллианту вид тумана.

Диагональ

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий вершины двух углов, которые не имеют общей стороны. Например, отрезок AD — это диагональ :

Единственным многоугольникоm, не имеющий диагонали, является треугольником, потому что он нет углов, не имеет общих сторон.

Если из данной вершины. многоугольника Нарисуйте все возможные диагонали, они будут общими многоугольник на треугольники:

Существует ровно два треугольника, у которых стороны меньше:

t = n — 2,

где t — количество треугольников, а n — количество сторон.

Разделение многоугольника Для треугольников площадь определяется с помощью диагоналей многоугольника, потому что для определения площади любого треугольника многоугольника, это разделить его на треугольники, определить площадь этих треугольников и сложить полученные результаты.

Общий

Характеристики

Регулярное выпуклого пятиугольника является правильный многоугольник, то есть равносторонний и equiangled . Как результат :

он изогонален, изотоксален и автодуален ;
он бицентрический (в), то есть оба
- доступен для записи : его вершины коциклические и
- описываемый : он имеет вписанную окружность, то есть окружность, касающуюся каждой из его сторон;
вписанные и описанные круги имеют один и тот же центр .

Правильный пятиугольник (синий) и пентаграмма (черный).

Он выпуклый, что отличает его от единственного другого правильного пятиугольника, пентаграммы, которая является звездной . Мы можем нарисовать правильную пентаграмму, соединив вершины правильного пятиугольника его диагоналями. Стороны пентаграммы параллельны сторонам пятиугольника (используйте равнобедренные треугольники и чередующиеся внутренние углы фигуры).

Углы

Они не зависят от размера пятиугольника.

угол = внешний угол: 360/5 = 72 °
Внутренний угол: 180 × (5-2) / 5 = 540/5 = 108 °, потому что:
любого простого пятиугольника : 180 × (5-2) = 540 °

Строительство правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля показывает золотое сечение, представленное греческой буквой ф ( «фи»)

φзнак равно1+52≈1,618 034{\ displaystyle \ varphi = {{1 + {\ sqrt {5}}} \ over 2} \ примерно 1,618 ~ 034}

φзнак равно2потому что⁡π5{\ displaystyle \ varphi = 2 \ cos {\ pi \ over 5}}

Некоторые характеристики правильного выпуклого пятиугольника со стороной a :

Периметр :

пзнак равно5 К{\ Displaystyle P = 5 ~ а}
:

Кзнак равно5К24Стоимость⁡π5знак равноК2425+105знак равноК2415+20φ≈1,720 К2{\ displaystyle A = {\ frac {5a ^ {2}} {4}} \ cot {\ frac {\ pi} {5}} = {\ frac {a ^ {2}} {4}} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {a ^ {2}} {4}} {\ sqrt {15 + 20 \ varphi}} \ примерно 1,720 ~ a ^ {2}}

( cot — функция котангенса )
Апофема = радиус вписанной окружности :

рзнак равноК2Стоимость⁡π5знак равноК1025+105знак равноК1015+20φ≈,688 К{\ displaystyle r = {a \ over 2} \ cot {\ pi \ over 5} = {a \ over 10} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} = {a \ over 10} {\ sqrt {15 + 20 \ varphi}} \ приблизительно 0,688 ~ a}
Радиус описанной окружности :

рзнак равноК2грех⁡π5знак равно11050+105 Кзнак равно1510+5φ К= ≈,851 К{\ displaystyle R = {a \ over {2 \ sin {\ pi \ over 5}}} = {1 \ over 10} {\ sqrt {50 + 10 {\ sqrt {5}}}} ~ a = {1 \ over 5} {\ sqrt {10 + 5 \ varphi}} ~ a = \ приблизительно 0,851 ~ a}
Диагональ:

Dзнак равно1+52 Кзнак равноφ К≈1,618 К{\ displaystyle D = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} ~ a = \ varphi ~ a \ приблизительно 1,618 ~ a}
Высота :

ЧАСзнак равнор+рзнак равно125+25 Кзнак равно123+4φ К≈1,539 К{\ displaystyle H = R + r = {1 \ over 2} {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} ~ a = {1 \ over 2} {\ sqrt {3 + 4 \ varphi} } ~ а \ примерно 1,539 ~ а}
Расстояние между одной стороной и диагональю, параллельной этой стороне:

d1знак равно5+58 Кзнак равно2+φ2 К≈,951 К{\ displaystyle d_ {1} = {\ sqrt {{5 + {\ sqrt {5}}} \ over 8}} ~ a = {{\ sqrt {2+ \ varphi}} \ over 2} ~ a \ приблизительно 0,951 ~ а}
Расстояние между диагональю и ближайшей вершиной вне диагонали:

d2знак равно5-58 Кзнак равно3-φ2 К≈,951 К{\ displaystyle d_ {2} = {\ sqrt {{5 — {\ sqrt {5}}} \ over 8}} ~ a = {{\ sqrt {3- \ varphi}} \ over 2} ~ a \ приблизительно 0,951 ~ а}

Боковая сторона :

Кзнак равно2ргрех⁡π5знак равно5-52 рзнак равно3-φ р≈1,176 р{\ displaystyle a = 2R \ sin {\ pi \ over 5} = {\ sqrt {{5 — {\ sqrt {5}}} \ over 2}} ~ R = {\ sqrt {3- \ varphi}} ~ R \ приблизительно 1,176 ~ R}
Диагональ:

Dзнак равно2+φ рзнак равно5+52 р≈1,902 р{\ displaystyle D = {\ sqrt {2+ \ varphi}} ~ R = {\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} ~ R \ приблизительно 1,902 ~ R}
Высота :

ЧАСзнак равнор+рзнак равно5+54 р{\ displaystyle H = R + r = {{5 + {\ sqrt {5}}} \ over 4} ~ R}
Расстояние между одной стороной и диагональю, параллельной этой стороне:

d1знак равно52 р≈1,118 р{\ displaystyle d_ {1} = {{\ sqrt {5}} \ over 2} ~ R \ приблизительно 1,118 ~ R}
Расстояние между диагональю и ближайшей вершиной вне диагонали:

d2знак равно5-54 р≈,691 р{\ displaystyle d_ {2} = {{5 — {\ sqrt {5}}} \ over 4} ~ R \ приблизительно 0,691 ~ R}

Разновидности выпуклых многоугольников

Определение выпуклого многоугольника не указывает на то, что их существует множество видов. Причем у каждого из них имеются определенные критерии. Так, выпуклые многоугольники, у которых есть внутренний угол равный 180°, называются слабовыпуклыми. Выпуклая геометрическая фигура, что имеет три вершины, называется треугольником, четыре — четырехугольником, пять — пятиугольником и т. д. Каждый из выпуклых n-угольников отвечает следующему важнейшему требованию: n должно равняться или быть больше 3. Каждый из треугольников является выпуклым. Геометрическая фигура данного типа, у которой все вершины располагаются на одной окружности, называется вписанной в окружность. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны около окружности прикасаются к ней. Два многоугольника называют равными только в том случае, когда при помощи наложения их можно совместить. Плоским многоугольником называют многоугольную плоскость (часть плоскости), что ограничена этой геометрической фигурой.

Треугольник

Треугольник — это не только самый простой многоугольник, Она также является основой для большей части известной геометрии. Все неизвестные плоские фигуры при решении разбиваются на треугольники. Большинство теорем, описывающих точки, отрезки и пропорции, были открыты для этой фигуры. В Америке существует целая энциклопедия треугольников.

В зависимости от элементов треугольника. углов, элементы делятся на:

Остроугольные.
Прямоугольны.
Тупоугольные.

В зависимости от длины стороны треугольники делятся на:

Произвольные.
Равнобедренные.
Равносторонние или правильные.

Особое внимание следует уделить правильному определению типов треугольников. Многие теоремы были установлены для одного типа треугольника и не работают для других

Рисунок 2. Типы треугольников.

Четырехугольник

Четырехугольник имеет столько же вариантов, сколько и треугольник. Однако существует только два основных типа — параллелограмм и трапеция.

Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно прямые и параллельные

Обратите внимание, что в определении треугольника никогда не используется параметр «выпуклый», о котором мы говорили в начале. Дело в том, что треугольники всегда выпуклые, а четырехугольники могут быть невыпуклыми

Параллелограмм, в зависимости от равенства элементов: углов а стороны делятся на следующие фигуры:

Квадрат.
Прямоугольник.
Ромб.
Произвольный параллелограмм.

Все эти известные нам фигуры являются разновидностями параллелограмма.

Рисунок 3. Типы параллелограммов.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две — нет. Однако существует множество четырехугольников, которые не принадлежат ни к одной группе. Такие фигуры называются произвольными четырехугольниками.

Строгая выпуклость

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:

Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
Каждый линейный сегмент между двумя точками внутри или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на краях).
Для каждого ребра внутренние точки и граничные точки, не содержащиеся в ребре, находятся на той же стороне линии, которую определяет край.
Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины внутри (кроме данной вершины и двух смежных вершин).

Каждый невырожденный треугольник строго выпуклый.

Правильные многоугольники

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

И ответ: можно!

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна \( \displaystyle 180{}^\circ \left( 8-2 \right)=1080{}^\circ \).

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \( \displaystyle \angle A\) можно найти:

\( \displaystyle \angle A=\frac{1080{}^\circ }{8}=135{}^\circ \).

Что мы еще должны знать?

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри, как это выглядит!