Что такое треугольник: определение, классификация, свойства

Виды треугольников по углам

Определение. Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все углы острые.

Определение. Прямоугольным треугольником называется треугольник с прямым углом.

Определение. Тупоугольным треугольником называется треугольник с тупым углом.

— Так, про треугольник понятно, — задумчиво сказал Бим. — Хотя — нет, не совсем понятно. Вот у этих конфет по 3 угла, но они разные.

— Конечно, — ответила Оля. — У всех этих конфет разные углы. Вот конфета, у которой все углы острые. Мы знаем, что острый угол меньше, чем прямой.

Оля достала листочек в клеточку и приложила к нему конфету.

— Поглядите сюда. У клеточки одна сторона идет по горизонтали, а другая по вертикали. Если одну сторону конфеты приложить к горизонтали, то вторая сторона конфеты пойдет ниже вертикали клеточки, значит угол между сторонами треугольника острый. Проверим еще два угла, они оба острые. Все три угла — острые. Треугольник с тремя острыми углами называется остроугольным.

— Дай, пожалуйста, листочек в клеточку, — попросил Бим.

— С удовольствием, — ответила Оля.

Бим приложил другую конфету к листочку.

— Что-то у меня не получается. У конфеты два угла острых, а стороны третьего угла совпадают с вертикальной и горизонтальной сторонами клеточки…

— Так это уже другой вид треугольника — прямоугольный треугольник! — крикнул Коля. — Треугольник, у которого один угол прямой, называют прямоугольным.

Бом тоже попросил листочек в клеточку и приложил еще одну конфету.

— У меня совсем по-другому. В этой конфете сторона одного угла вообще в клеточку не попала, где-то вне клеточки. Что же это за угол такой?

— Такой угол называется тупым, он больше, чем прямой угол, — заметил Вася. — И треугольник, у которого есть тупой угол, называется тупоугольным треугольником.

Расположение высот у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
		Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.


		Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника


		Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника



Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.


Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника


Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно. Рассматриваются всевозможные треугольники DEF, вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC.

Решение. Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D₁ точку, , и обозначим символом D₂ точку, (рис.8).

Рис.8

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D₁D₂. Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D₁D₂ с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D₁D₂ (рис.9).

Рис.9

Заметим также, что выполнено равенство

AD = AD₁ = AD₂.

Кроме того, выполнено равенство

Поэтому

Отсюда вытекает, что длина отрезка D₁D₂ будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC. Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A, длину стороны AB и радиус буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись , получим:

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма. Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Рис.10

В этом случае отрезок D₁D₂ проходит через точки F и E.

Доказательство. Заметим, что в силу выполняются равенства:

Кроме того, в силу DFK и KFD₂, а также в силу DEL и LED₁ выполняются равенства:

Следовательно,

откуда вытекает, что углы AEF и D₁EL , а также AFE и D₂FK являются . Это означает, что точки D₁, F, E, D₂ лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
		Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
		Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла
		Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Задачи с разными видами треугольников

№1. Дан равнобедренный треугольник. Его периметр известен и равен 90 см. Требуется узнать его стороны. В качестве дополнительного условия: боковая сторона меньше основания в 1,2 раза.

Решение

Значение периметра напрямую зависит от тех величин, которые нужно найти. Сумма всех трех сторон и даст 90 см. Теперь нужно вспомнить признак треугольника, по которому он является равнобедренным. То есть две стороны равны. Можно составить уравнение с двумя неизвестными: 2а + в = 90. Здесь а — боковая сторона, в — основание.

Настала очередь дополнительного условия. Следуя ему, получается второе уравнение: в = 1,2а. Можно выполнить подстановку этого выражения в первое. Получится: 2а + 1,2а = 90. После преобразований: 3,2а = 90. Отсюда а = 28,125 (см). Теперь несложно узнать основание. Лучше всего это сделать из второго условия: в = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).

Для проверки можно сложить три значения: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (см). Все верно.

Ответ: стороны треугольника равны 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Нужно вычислить его высоту.

Решение. Для поиска ответа достаточно вернуться к тому моменту, где были описаны свойства треугольника. Так указана формула для нахождения высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника.

н = а * √3 / 2, где н — высота, а — сторона.

Подстановка и вычисление дают такой результат: н = 6 √3 (см).

Эту формулу необязательно запоминать. Достаточно вспомнить, что высота делит треугольник на два прямоугольных. Причем она оказывается катетом, а гипотенуза в нем — это сторона исходного, второй катет — половина известной стороны. Теперь нужно записать теорему Пифагора и вывести формулу для высоты.

Ответ: высота равна 6 √3 см.

№3. Дан МКР — треугольник, 90 градусов в котором составляет угол К. Известны стороны МР и КР, они равны соответственно 30 и 15 см. Нужно узнать значение угла Р.

Решение. Если сделать чертеж, то становится ясно, что МР — гипотенуза. Причем она в два раза больше катета КР. Снова нужно обратиться к свойствам. Одно из них как раз связано с углами. Из него понятно, что угол КМР равен 30º. Значит искомый угол Р будет равен 60º. Это следует из другого свойства, которое утверждает, что сумма двух острых углов должна равняться 90º.

Ответ: угол Р равен 60º.

№4. Нужно найти все углы равнобедренного треугольника. Про него известно, что внешний угол от угла при основании равен 110º.

Решение. Поскольку дан только внешний угол, то этим и нужно воспользоваться. Он образует с внутренним углом развернутый. Значит в сумме они дадут 180º. То есть угол при основании треугольника будет равен 70º. Так как он равнобедренный, то второй угол имеет такое же значение. Осталось вычислить третий угол. По свойству, общему для всех треугольников, сумма углов равна 180º. Значит, третий определится как 180º — 70º — 70º = 40º.

Ответ: углы равны 70º, 70º, 40º.

№5. Известно, что в равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен 90º. На основании отмечена точка. Отрезок, соединяющий ее с прямым углом, делит его в отношении 1 к 4. Нужно узнать все углы меньшего треугольника.

Решение. Один из углов можно определить сразу. Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, то те, что лежат у его основания, будут по 45º, то есть по 90º/2.

Второй из них поможет найти известное в условии отношение. Поскольку оно равно 1 к 4, то частей, на которые он делится получается всего 5. Значит, чтобы узнать меньший угол треугольника нужно 90º/5 = 18º. Осталось узнать третий. Для этого из 180º (суммы всех углов треугольника) нужно вычесть 45º и 18º. Вычисления несложные, и получится: 117º.

Ответ: 18º, 45º, 117º

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Внешние углы треугольника

Построим некоторый треуг-к, а потом продлим одну из его сторон. На рисунке мы продлили сторону АС. В результате образуется угол, который называют внешним углом треугольника:

На рисунке видно, что ∠ВСD является внешним. Но одновременно можно утверждать и ещё один факт – углы ∠АСВ и ∠ВСD являются . Это позволяет нам дать следующее определение:

В итоге мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треуг-ка, которые с ним не смежны.

Задание. У ∆АВС ∠А = 50°, ∠В = 75°. Найдите величину внешнего угла, смежного с ∠С.

Решение. В данном случае, согласно доказанному нами правилу, достаточно просто сложить ∠А и ∠B:

Рассмотрим ещё несколько более тяжелых задач.

Задание. В ∆АВС проведены биссектрисы угловА и B. Они пересекаются в точке М. Известно, что ∠А = 58°, ∠B = 96°. Найдите ∠АМB.

Решение. Устно такую задачу не решить, поэтому построим рисунок:

АМ – это биссектриса, а она разбивает∠ВАС на два равных угла. Поэтому мы можем вычислить ∠ВАМ:

Отметим найденные углы на рисунке:

Обратите внимание на ∆АВМ, который выделен красным цветом. Теперь мы знаем два угла в нем

Значит, можно найти и третий! Запишем для ∆АВМ сумму его углов:

Задание. Построен внешний угол равнобедренного треугольника, который смежен с вершиной, лежащей против основания. Далее построили биссектрису этого внешнего угла. Докажите, что эта биссектриса будет параллельна основанию.

Решение. Выполним построение:

Пусть АС – это основание рав-бедр. ∆АВС. Тогда внешний угол должен быть проведен к вершине В, ведь именно она лежит против основания. Обозначим внешний угол как ∠СВD (для этого мы просто добавили точку Dна продолжение отрезка АВ). Далее проводим биссектрису ВК. Нам требуется доказать, что ВК||АС.

Поступим очень просто – обозначим неизвестную нам величину угла при основании как х. То есть

В результате мы получили, что и ∠С, и ∠CBK равны х, то есть они равны и друг другу. Однако эти углы являются накрест лежащими для прямых АС и ВК и секущей ВС. Из равенства накрест лежащих углов следует, что АС||ВК.

Задание. В ∆АВС проведена медиана АМ, причем ее длина равна ВМ. Найдите ∠А.

Решение. Напомним, что медиана – это прямая, разбивающая сторону на два равных отрезка. То есть ВМ = МС. По условию АМ = ВМ, значит, имеет место двойное равенство:

Посмотрите на рисунок – здесь есть сразу два рав-бедр. треуг-ка! Это ∆АВМ (с основанием АВ) и ∆АМС (с основанием АМС). Обозначим∠В как х, а ∠С – как у. Углы при основании рав-бедр. треуг-ков одинаковы, а потому

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу

Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Задание 3 (построение прямоугольного равнобедренного треугольника и прямоугольника)

Постройте равнобедренный треугольник Построим точку (Рис. 25).

Рис. 25. Точка

Проведем через точку прямую (Рис. 26).

Рис. 26. Прямая, проведенная через точку

Для построения прямого угла воспользуемся прямоугольным треугольником. Приложим прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой , а одна из сторон треугольника – с лучом (Рис. 27).

Рис. 27. Построение прямого угла

Построим по второй стороне прямого угла луч из точки . Получим прямой угол (Рис. 28).

Рис. 28. Прямой угол

Выполним построение сторон треугольника. Отложим на каждом луче отрезок, равный 20 см, и обозначим точки буквами

Рис. 29. Стороны будущего треугольника

Соединим полученные точки отрезком (Рис. 29). Мы получили прямоугольный треугольник

Рис. 29. Треугольник

Выполним вторую часть задания: достроим этот треугольник до прямоугольника. В прямоугольнике все углы прямые. Построим прямой угол с вершиной

Рис. 30. Построение прямого угла с вершиной

Проведем луч из точки по второй стороне треугольника (Рис. 31).

Рис. 31. Луч из точки

У прямоугольника противоположные стороны равны. Отложим отрезок на новом луче, который равен по длине отрезку

Рис. 32. Построение стороны

Соединим точки

Рис. 33. Прямоугольник

Обратите внимание, в прямоугольнике все стороны равны, значит, получился квадрат (Рис. 34)

Рис. 34. Полученный квадрат

Описанная окружность треугольника

Окружность, проходящая по всем вершинам треугольника, называется описанной окружностью. Любой треугольник может быть описан единственной окружностью.

Центр описанной окружности — это точка пересечения перпендикуляров оснований, проходящих через середину основания.

На рисунке хорошо видно, как из середины оснований мы провели перпендикуляры и нашли точку пересечения. С помощью штангенциркуля выставляем радиус от центра до любой вершины и круговым движением рисуем описанную окружность.

У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

Найди на рисунке треугольник, который одновременно прямоугольный и равнобедренный.

Решение задач на построение треугольника по трем элементам

Существует несколько сторон треугольника BC, в которых соприкасаются углы ߋ альфа и окклюзия. Необходимо построить треугольник из трех известных элементов.

Предположим, что углы треугольника ABC соответствуют следующим условиям

План действий может быть составлен по стандартному алгоритму.

Построить прямую а и отмерить на ней отрезок ВС.
Начертить угол К с вершиной В на стороне ВС.
Изобразить угол М с вершиной С на стороне ВС.
На пересечении лучей изображенных углов получить точку А, соединить ее с точками С и В для получения отрезков АС и АВ.

В процессе доказательства рассмотрим изображение треугольника. Можно сделать вывод, что данные условия соблюдены. Указанный угол также можно провести в обратном направлении, поэтому второй треугольник можно изобразить соответствующим образом. Однако из-за сходства с первым можно сделать вывод, что существует только одно решение проблемы. Если углы ዄ alpha и ዅ b равны более 180 градусов, то задача не имеет решения.

Даны три стороны треугольника AB, AC и BC. Треугольник должен быть построен.

Проанализировав условия проблемы, можно создать план решения.

Начертить прямую а и отметить на ней отрезок АВ.
Используя циркуль, изобразить пару окружностей. Одна из них имеет радиус АС и центр в точке А, а вторая — радиус ВС и центр в точке В.
Точку, где пересекаются данные окружности, можно обозначить С. Далее следует соединить точку С с точками А и В. В результате получаются отрезки АС и ВС.
Затем остается построить треугольник.

Полученная геометрия соответствует условиям задачи. Нарисованная окружность имеет два пересечения, которые могут создать еще один треугольник. Как и в первом случае, проблема имеет единственное решение. Поскольку сумма сторон треугольника всегда больше его третьей стороны, задача не имеет решения, если это условие не выполняется на этих сторонах.

Треугольник имеет две стороны AB и AC и угол ⌘alpha между ними. Треугольник должен быть спроектирован.

Процедура выполняется следующим образом.

начертить прямую а, отметить отрезок АВ;
отмерить угол МАВ, соответствующий углу \alpha;
отложить отрезок АС на прямой АМ;
начертить третью сторону треугольника СВ, соединив точки В и С.

В результате получается треугольник:.

По нарисованной геометрической фигуре можно сделать вывод, что условия работы соблюдены. Ряд A бесконечен. Это позволяет конструировать множество подобных треугольников. Предположив, что все они одинаковы, сделаем вывод, что существует только одно решение проблемы. Если угол ⌘ alpha больше 180 градусов, то задача не имеет ответа, так как сумма всех углов треугольников должна быть равна 180 градусов.

Пример решения задачи

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов. Каждый из способов дает представление о том, как можно решать задачи с тупоугольным треугольником. Воспользуемся каждым из них.

Ответ в каждом случае должен быть одинаков. Но если округлять неточные ответы, то в одной задаче при одинаковых решениях можно получить разные величины. Будьте внимательны, результат не должен отличаться больше, чем на 1.

Через площадь треугольников. Площадь можно найти как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. А можно как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. Нам известен косинус угла, а через косинус всегда можно найти синус.

Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.

Второй способ это достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного. Если присмотреться, то можно заметить на чертеже два прямоугольных треугольника – это треугольники АМС и АМВ. В треугольнике АМВ можно найти косинус угла АВМ с помощью формул-приведений. Затем через значение косинуса найти значение синуса того же угла. А синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащей катет – это искомая нами высота, а гипотенуза это сторона АВ прямоугольного треугольника.

Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество.

Третий метод это теорема синусов и косинусов. Для того, чтобы воспользоваться этим способом, через теорему косинусов найдем значение АС, потом через теорему синусов найдем синус угла АСВ и определим АМ из синуса угла АСВ большого прямоугольного треугольника АМС.

$$sqrt<13+4+4>=sqrt<21>=sqrt<9*3>=3sqrt<3>$$ – по теореме косинусов.

Значение синуса угла АВС определим по основному тригонометрическому тождеству.

Выразим искомый синус угла АСВ.

Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.

Ответы всех трех способов совпали, а значит задача решена верно.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p — это полупериметр треугольника, c, v, b — его стороны.

Теорема о сумме углов треугольника

Если один угол треугольника становится больше, остальные углы «сжимаются». Выражаясь метафорично, треугольник — это фигура жесткой сцепки.

Отсюда и создается впечатление, что сумма углов треугольника будто бы всегда одна и та же, вне зависимости от того, сколько какому углу построением отмерено градусов.

А еще внимательный читатель мог заметить, что равенство накрест лежащих углов при параллельных и сумма односторонних углов в $180^\circ$, если крепко призадуматься, подает сигнал в том числе: сумма углов треугольника, скорее всего, также равняется $180^\circ$.

Нам остается проверить данные наблюдения и доказать их:

Доказательство

Начертим произвольный треугольник $\bigtriangleup{ABC}$. Расположим его на чертеже боковой стороной $AB$, а на основании $BC$ отметим середину — точку $O$. Продолжим медиану $AO$ от основания и отложим равный медиане отрезок $OA_1$.

Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{ABO}$ и $\bigtriangleup{OA_{1}C}$. Треугольники равны по первому признаку: $AO=OA_1$, $BO=OC$, углы $\angle{BOA}$ и $\angle{A_{1}OC}$ равны как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что $\angle{ABC}=\angle{A_{1}CB}$.

Заметим, что $\angle{ABC}$ и $\angle{A_{1}CB}$ — накрест лежащие углы при отрезках $AB$ и $CA_1$ и секущей $CB$. Следовательно $AB\parallel{CA_1}$.

Рассмотреть эти же отрезки можно при секущей $CA$. Раз отрезки параллельны, то сумма односторонних углов $\angle{A}$ и $\angle{A_{1}CA}$ равна $180^\circ$. Поскольку накрест лежащие $\angle{ABC}$ и $\angle{A_{1}CB}$ равны, а $\angle{A_{1}CA}=\angle{ACB}+\angle{ABC}$, то выходит:

$$\angle{A}+\angle{A_{1}CA}=180^\circ\\\angle{A}+\angle{ABC}+\angle{ACB}=180^\circ$$

Это и есть сумма углов треугольника $\bigtriangleup{ABC}$. Теорема доказана.

{"questions":}

Сумма углов треугольника: комментарий к доказательству

Совершенно нормальный вопрос при изучении геометрии: «Почему именно такой нестандартный чертеж?! Боковой стороной?»

Располагать треугольник на чертеже боковой стороной — нетипичная практика. Обычно мы рисуем эту фигуру по принципу его геометрического значка — $\bigtriangleup$. Однако допустите мысль, что теоремы об углах при параллельных таки навели вас на мысли, чему может равняться сумма углов треугольника. Что бы вы сделали первым делом при чертеже к доказательству?

Расположили бы треугольник таким образом, чтобы его стороны «играли роль» потенциальных секущих, а третья сторона — «роль» одной из возможных параллельных прямых.

Так что подобный чертеж — попытка сразу «подогнать» ситуацию к удобному графическому использованию уже ранее доказанных теорем. Это — геометрическая сноровка. Так что не переживайте, если иногда кажется, что IQ рисовавшего чертеж уж слишком переваливает за 300… Сноровка вырабатывается со временем. Практикуйтесь и вы сможете так же!

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника

Напомним, что острым считается угол меньше $90^\circ$. Исходя из того, что сумма углов треугольника — всегда $180^\circ$, логично заключить невозможность наличия в треугольнике двух тупых углов. Сумма двух тупых углов всегда больше $180^\circ$. А это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

{"questions":[{"content":"`image-12` Если помните, следствия, как и теоремы, все-таки требуют доказательства. Вдруг мы вынесли ложное умозаключение? Следствие мы, да, только что доказали, но очень нестрого, практически «на пальцах». Ниже приведено строгое доказательство следствия из теоремы о сумме углов треугольника. Ваша задача в качестве практики — восстановить порядок положений доказательства.   `sorter-1`","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":},"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/oh-1.svg","width":"300"}}}]}

Как построить треугольник по трем элементам с помощью циркуля

Используя компас, можно изобразить треугольник с тремя известными элементами. Например, есть три аспекта в виде частей MC, OE и FG, для которых необходимо построить треугольник ABC. Должны быть выполнены следующие условия:.

Используя линейку, проведите прямую линию a. Используя компас, проведите линию AB, соответствующую отрезку MK. В этой процедуре вы можете отметить точку A на линии A. После измерения сечения компаса MK необходимо начертить окружность с радиусом, равным центру A и MK. Не нужно рисовать весь цикл, а только лук, как показано на рисунке. Точка пересечения окружности с линией A — b.

Измерьте сечение OE с помощью компаса и начертите окружность, центр которой совпадает с точкой A, а радиус соответствует сечению OE. На изображении бант выделен синим цветом.

Следующий шаг — с помощью компаса измерить сечение FG и нарисовать окружность. Центр этого цикла совпадает с точкой B, а его радиус соответствует прямому участку FG. На рисунке лук обозначен зеленым цветом.

Точки, в которых центры A и B и окружность с лучами OE и FG определяются как C, удобно соединять с помощью линейки. В результате получается геометрическая фигура в виде треугольника ABC.

Если условия задания выполнены, то нарисованный треугольник является искомым треугольником.

Важно отметить, что такие задания не имеют решения во всех случаях. Причина в том, что неравенство треугольника должно выполняться для каждого треугольника

То есть, для каждого треугольника сумма двух сторон больше третьей стороны. Если один из отрезков, обозначенных условно, больше суммы двух других, то построить треугольник со сторонами, соответствующими этим отрезкам, невозможно.

Треугольники можно построить с помощью компаса и углов между ними, если известны обе стороны. Например, существуют секции MK и OE и углы HK. Треугольник ABC должен быть построен следующим образом.